Номер 6, страница 137, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

6. Первый член бесконечной геометрической прогрессии равен $\frac{4}{5}$, а её знаменатель равен $-\frac{1}{4}$. Каждому началу предложения, записанному в левом столбце, поставьте в соответствие окончание предложения, записанное в правом столбце, так, чтобы образовалось верное утверждение.

Начало предложения

А) Третий член прогрессии равен

Б) Сумма трёх первых членов прогрессии равна

В) Сумма прогрессии равна

Окончание предложения

1) $\frac{13}{25}$

2) $\frac{13}{20}$

3) $\frac{1}{20}$

4) $\frac{1}{25}$

5) $\frac{16}{25}$

По условию задачи дана бесконечная геометрическая прогрессия, у которой первый член $b_1 = \frac{4}{5}$ и знаменатель $q = -\frac{1}{4}$.

Для нахождения n-го члена геометрической прогрессии используется формула $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.
Найдём третий член прогрессии, подставив $n=3$ в формулу:
$b_3 = b_1 \cdot q^{3-1} = b_1 \cdot q^2$
$b_3 = \frac{4}{5} \cdot \left(-\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{16} = \frac{4}{80} = \frac{1}{20}$.
Данное значение соответствует варианту 3) в правом столбце.
Ответ: 3.

Сумму трёх первых членов $S_3$ можно найти по формуле $S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$ или сложив первые три члена: $S_3 = b_1 + b_2 + b_3$. Воспользуемся вторым способом.
Первый член $b_1 = \frac{4}{5}$.
Второй член $b_2 = b_1 \cdot q = \frac{4}{5} \cdot \left(-\frac{1}{4}\right) = -\frac{1}{5}$.
Третий член $b_3 = b_2 \cdot q = -\frac{1}{5} \cdot \left(-\frac{1}{4}\right) = \frac{1}{20}$ (также вычислен в пункте А).
Теперь найдём сумму:
$S_3 = b_1 + b_2 + b_3 = \frac{4}{5} - \frac{1}{5} + \frac{1}{20} = \frac{3}{5} + \frac{1}{20}$.
Приведём дроби к общему знаменателю 20:
$S_3 = \frac{3 \cdot 4}{5 \cdot 4} + \frac{1}{20} = \frac{12}{20} + \frac{1}{20} = \frac{13}{20}$.
Данное значение соответствует варианту 2) в правом столбце.
Ответ: 2.

Так как знаменатель прогрессии по модулю меньше единицы ($|q| = |-\frac{1}{4}| = \frac{1}{4} < 1$), прогрессия является бесконечно убывающей. Её сумму можно найти по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$.
Подставим известные значения в формулу:
$S = \frac{\frac{4}{5}}{1 - \left(-\frac{1}{4}\right)} = \frac{\frac{4}{5}}{1 + \frac{1}{4}} = \frac{\frac{4}{5}}{\frac{5}{4}}$.
Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную ей дробь:
$S = \frac{4}{5} \cdot \frac{4}{5} = \frac{16}{25}$.
Данное значение соответствует варианту 5) в правом столбце.
Ответ: 5.