Номер 11, страница 138, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

11. При каком значении $x$ значения выражений $x - 6$, $2x + 3$ и $x + 1$ являются последовательными членами арифметической прогрессии?

Для того чтобы три выражения были последовательными членами арифметической прогрессии, необходимо, чтобы средний член был равен среднему арифметическому двух крайних членов. Это является характеристическим свойством арифметической прогрессии.

Пусть наши выражения — это три последовательных члена арифметической прогрессии:
$a_1 = x - 6$
$a_2 = 2x + 3$
$a_3 = x + 1$

Согласно свойству арифметической прогрессии, должно выполняться равенство:
$a_2 = \frac{a_1 + a_3}{2}$
Или, что то же самое:
$2a_2 = a_1 + a_3$

Подставим в это равенство наши выражения:
$2 \cdot (2x + 3) = (x - 6) + (x + 1)$

Теперь решим полученное линейное уравнение. Сначала раскроем скобки:
$4x + 6 = x - 6 + x + 1$

Приведем подобные слагаемые в правой части уравнения:
$4x + 6 = 2x - 5$

Перенесем слагаемые, содержащие $x$, в левую часть уравнения, а постоянные члены — в правую, меняя их знаки на противоположные:
$4x - 2x = -5 - 6$

Выполним вычисления:
$2x = -11$

Найдем $x$, разделив обе части уравнения на 2:
$x = \frac{-11}{2}$
$x = -5.5$

Сделаем проверку. Подставим найденное значение $x = -5.5$ в исходные выражения:
$a_1 = -5.5 - 6 = -11.5$
$a_2 = 2 \cdot (-5.5) + 3 = -11 + 3 = -8$
$a_3 = -5.5 + 1 = -4.5$
Получили последовательность чисел: -11.5, -8, -4.5. Найдем разность между соседними членами:
$d_1 = a_2 - a_1 = -8 - (-11.5) = -8 + 11.5 = 3.5$
$d_2 = a_3 - a_2 = -4.5 - (-8) = -4.5 + 8 = 3.5$
Так как разности равны, эти числа действительно являются последовательными членами арифметической прогрессии.

Ответ: -5.5