Номер 8, страница 138, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

8. Арифметическая прогрессия $(a_n)$ задана формулой $n$-го члена $a_n = 6 - 2,1n$. Чему равна разность прогрессии?

Разность арифметической прогрессии, обозначаемая буквой $d$, это постоянное число, которое прибавляется к каждому члену прогрессии, чтобы получить следующий. Разность можно найти, вычтя из любого члена прогрессии предыдущий: $d = a_{n+1} - a_n$.

Формула n-го члена прогрессии задана как $a_n = 6 - 2,1n$.

Чтобы найти разность $d$, можно воспользоваться одним из следующих способов.

Способ 1: Вычисление двух последовательных членов

Найдем первый и второй члены прогрессии, подставив в формулу значения $n=1$ и $n=2$.
Первый член ($n=1$):
$a_1 = 6 - 2,1 \cdot 1 = 6 - 2,1 = 3,9$.
Второй член ($n=2$):
$a_2 = 6 - 2,1 \cdot 2 = 6 - 4,2 = 1,8$.

Теперь вычислим разность как $d = a_2 - a_1$:
$d = 1,8 - 3,9 = -2,1$.

Способ 2: Использование общей формулы для разности

Выразим член $a_{n+1}$, подставив в исходную формулу $n+1$ вместо $n$:
$a_{n+1} = 6 - 2,1(n+1) = 6 - 2,1n - 2,1$.

Теперь найдем разность $d = a_{n+1} - a_n$:
$d = (6 - 2,1n - 2,1) - (6 - 2,1n)$
$d = 6 - 2,1n - 2,1 - 6 + 2,1n$
Взаимно уничтожаем $6$ и $-6$, а также $-2,1n$ и $2,1n$. Остается:
$d = -2,1$.

Способ 3: Анализ формулы n-го члена

Общая формула n-го члена арифметической прогрессии имеет вид $a_n = a_1 + d(n-1)$. Если раскрыть скобки, получим $a_n = a_1 + dn - d$, или $a_n = dn + (a_1 - d)$.
Это линейная функция от $n$, где коэффициент при $n$ и есть разность прогрессии $d$.
В нашей формуле $a_n = 6 - 2,1n$, которую можно записать как $a_n = -2,1n + 6$, коэффициент при $n$ равен $-2,1$. Следовательно, это и есть разность прогрессии.

Ответ: -2,1