Страница 138 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

8. Арифметическая прогрессия $(a_n)$ задана формулой $n$-го члена $a_n = 6 - 2,1n$. Чему равна разность прогрессии?

Разность арифметической прогрессии, обозначаемая буквой $d$, это постоянное число, которое прибавляется к каждому члену прогрессии, чтобы получить следующий. Разность можно найти, вычтя из любого члена прогрессии предыдущий: $d = a_{n+1} - a_n$.

Формула n-го члена прогрессии задана как $a_n = 6 - 2,1n$.

Чтобы найти разность $d$, можно воспользоваться одним из следующих способов.

Способ 1: Вычисление двух последовательных членов

Найдем первый и второй члены прогрессии, подставив в формулу значения $n=1$ и $n=2$.
Первый член ($n=1$):
$a_1 = 6 - 2,1 \cdot 1 = 6 - 2,1 = 3,9$.
Второй член ($n=2$):
$a_2 = 6 - 2,1 \cdot 2 = 6 - 4,2 = 1,8$.

Теперь вычислим разность как $d = a_2 - a_1$:
$d = 1,8 - 3,9 = -2,1$.

Способ 2: Использование общей формулы для разности

Выразим член $a_{n+1}$, подставив в исходную формулу $n+1$ вместо $n$:
$a_{n+1} = 6 - 2,1(n+1) = 6 - 2,1n - 2,1$.

Теперь найдем разность $d = a_{n+1} - a_n$:
$d = (6 - 2,1n - 2,1) - (6 - 2,1n)$
$d = 6 - 2,1n - 2,1 - 6 + 2,1n$
Взаимно уничтожаем $6$ и $-6$, а также $-2,1n$ и $2,1n$. Остается:
$d = -2,1$.

Способ 3: Анализ формулы n-го члена

Общая формула n-го члена арифметической прогрессии имеет вид $a_n = a_1 + d(n-1)$. Если раскрыть скобки, получим $a_n = a_1 + dn - d$, или $a_n = dn + (a_1 - d)$.
Это линейная функция от $n$, где коэффициент при $n$ и есть разность прогрессии $d$.
В нашей формуле $a_n = 6 - 2,1n$, которую можно записать как $a_n = -2,1n + 6$, коэффициент при $n$ равен $-2,1$. Следовательно, это и есть разность прогрессии.

Ответ: -2,1

9. Чему равна сумма тринадцати первых членов арифметической прогрессии $(a_n)$, если $a_1 + a_5 + a_{15} = 30$?

Пусть ($a_n$) — арифметическая прогрессия с первым членом $a_1$ и разностью $d$.
Формула n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Используя эту формулу, выразим члены $a_1$, $a_5$ и $a_{15}$ через $a_1$ и $d$:
$a_1 = a_1$
$a_5 = a_1 + (5-1)d = a_1 + 4d$
$a_{15} = a_1 + (15-1)d = a_1 + 14d$

По условию задачи, $a_1 + a_5 + a_{15} = 30$. Подставим в это уравнение полученные выражения:
$a_1 + (a_1 + 4d) + (a_1 + 14d) = 30$
Приведем подобные слагаемые:
$3a_1 + 18d = 30$
Разделим обе части уравнения на 3:
$a_1 + 6d = 10$

Нам нужно найти сумму первых тринадцати членов прогрессии, $S_{13}$. Воспользуемся формулой суммы первых n членов арифметической прогрессии:
$S_n = \frac{(2a_1 + (n-1)d) \cdot n}{2}$
Подставим $n=13$ в эту формулу:
$S_{13} = \frac{(2a_1 + (13-1)d) \cdot 13}{2} = \frac{(2a_1 + 12d) \cdot 13}{2}$
Вынесем 2 за скобки в числителе:
$S_{13} = \frac{2(a_1 + 6d) \cdot 13}{2}$
Сократим на 2:
$S_{13} = (a_1 + 6d) \cdot 13$
Мы уже нашли, что $a_1 + 6d = 10$. Подставим это значение в формулу для $S_{13}$:
$S_{13} = 10 \cdot 13 = 130$

Ответ: 130

10. Представьте в виде обыкновенной дроби бесконечную десятичную дробь $0,(54)$.

Чтобы представить бесконечную периодическую десятичную дробь $0,(54)$ в виде обыкновенной дроби, обозначим это число переменной $x$.

$x = 0,(54) = 0,545454...$

Поскольку в периоде дроби две цифры, умножим обе части этого равенства на $10^2 = 100$, чтобы сдвинуть запятую на два знака вправо:

$100x = 100 \times 0,545454... = 54,545454...$

Теперь вычтем из второго уравнения первое. Это позволит нам избавиться от бесконечной дробной части.

$100x - x = 54,545454... - 0,545454...$

$99x = 54$

Теперь найдем $x$, решив полученное уравнение:

$x = \frac{54}{99}$

Полученную дробь можно сократить. Наибольший общий делитель для числителя $54$ и знаменателя $99$ равен $9$. Разделим числитель и знаменатель на $9$:

$x = \frac{54 \div 9}{99 \div 9} = \frac{6}{11}$

Таким образом, бесконечная десятичная дробь $0,(54)$ в виде обыкновенной дроби записывается как $\frac{6}{11}$.

Ответ: $\frac{6}{11}$

11. При каком значении $x$ значения выражений $x - 6$, $2x + 3$ и $x + 1$ являются последовательными членами арифметической прогрессии?

Для того чтобы три выражения были последовательными членами арифметической прогрессии, необходимо, чтобы средний член был равен среднему арифметическому двух крайних членов. Это является характеристическим свойством арифметической прогрессии.

Пусть наши выражения — это три последовательных члена арифметической прогрессии:
$a_1 = x - 6$
$a_2 = 2x + 3$
$a_3 = x + 1$

Согласно свойству арифметической прогрессии, должно выполняться равенство:
$a_2 = \frac{a_1 + a_3}{2}$
Или, что то же самое:
$2a_2 = a_1 + a_3$

Подставим в это равенство наши выражения:
$2 \cdot (2x + 3) = (x - 6) + (x + 1)$

Теперь решим полученное линейное уравнение. Сначала раскроем скобки:
$4x + 6 = x - 6 + x + 1$

Приведем подобные слагаемые в правой части уравнения:
$4x + 6 = 2x - 5$

Перенесем слагаемые, содержащие $x$, в левую часть уравнения, а постоянные члены — в правую, меняя их знаки на противоположные:
$4x - 2x = -5 - 6$

Выполним вычисления:
$2x = -11$

Найдем $x$, разделив обе части уравнения на 2:
$x = \frac{-11}{2}$
$x = -5.5$

Сделаем проверку. Подставим найденное значение $x = -5.5$ в исходные выражения:
$a_1 = -5.5 - 6 = -11.5$
$a_2 = 2 \cdot (-5.5) + 3 = -11 + 3 = -8$
$a_3 = -5.5 + 1 = -4.5$
Получили последовательность чисел: -11.5, -8, -4.5. Найдем разность между соседними членами:
$d_1 = a_2 - a_1 = -8 - (-11.5) = -8 + 11.5 = 3.5$
$d_2 = a_3 - a_2 = -4.5 - (-8) = -4.5 + 8 = 3.5$
Так как разности равны, эти числа действительно являются последовательными членами арифметической прогрессии.

Ответ: -5.5

12. При каком значении $x$ значения выражений $6x$, $3x$ и $x + 10$ являются последовательными членами геометрической прогрессии?

Для того чтобы три выражения являлись последовательными членами геометрической прогрессии, необходимо, чтобы квадрат среднего члена был равен произведению двух других. Обозначим данные выражения как члены геометрической прогрессии $(b_n)$:

$b_1 = 6x$

$b_2 = 3x$

$b_3 = x + 10$

Согласно характеристическому свойству геометрической прогрессии, для её последовательных членов должно выполняться равенство:

$b_2^2 = b_1 \cdot b_3$

Подставим данные выражения в это уравнение:

$(3x)^2 = 6x \cdot (x + 10)$

Теперь решим полученное уравнение относительно $x$. Раскроем скобки:

$9x^2 = 6x^2 + 60x$

Перенесём все слагаемые в левую часть уравнения и приведём подобные:

$9x^2 - 6x^2 - 60x = 0$

$3x^2 - 60x = 0$

Вынесем общий множитель $3x$ за скобки:

$3x(x - 20) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных решения:

1) $3x = 0 \implies x_1 = 0$

2) $x - 20 = 0 \implies x_2 = 20$

Необходимо выполнить проверку найденных значений $x$, так как знаменатель геометрической прогрессии не может быть неопределенным, а её члены, как правило, отличны от нуля.

Проверка при $x = 0$

Подставим $x = 0$ в исходные выражения:

$b_1 = 6 \cdot 0 = 0$

$b_2 = 3 \cdot 0 = 0$

$b_3 = 0 + 10 = 10$

Получилась последовательность: $0, 0, 10$. Если первый член геометрической прогрессии равен нулю, то все последующие члены также должны быть равны нулю. Так как $b_3 = 10$, данная последовательность не является геометрической. Значит, значение $x=0$ не является решением.

Проверка при $x = 20$

Подставим $x = 20$ в исходные выражения:

$b_1 = 6 \cdot 20 = 120$

$b_2 = 3 \cdot 20 = 60$

$b_3 = 20 + 10 = 30$

Получилась последовательность: $120, 60, 30$. Проверим, является ли она геометрической прогрессией, найдя её знаменатель $q$:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{60}{120} = \frac{1}{2}$

$q = \frac{b_3}{b_2} = \frac{30}{60} = \frac{1}{2}$

Отношение последующего члена к предыдущему постоянно, значит, последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем $q = 1/2$. Следовательно, значение $x=20$ является решением задачи.

Ответ: 20