Номер 12, страница 138, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

12. При каком значении $x$ значения выражений $6x$, $3x$ и $x + 10$ являются последовательными членами геометрической прогрессии?

Для того чтобы три выражения являлись последовательными членами геометрической прогрессии, необходимо, чтобы квадрат среднего члена был равен произведению двух других. Обозначим данные выражения как члены геометрической прогрессии $(b_n)$:

$b_1 = 6x$

$b_2 = 3x$

$b_3 = x + 10$

Согласно характеристическому свойству геометрической прогрессии, для её последовательных членов должно выполняться равенство:

$b_2^2 = b_1 \cdot b_3$

Подставим данные выражения в это уравнение:

$(3x)^2 = 6x \cdot (x + 10)$

Теперь решим полученное уравнение относительно $x$. Раскроем скобки:

$9x^2 = 6x^2 + 60x$

Перенесём все слагаемые в левую часть уравнения и приведём подобные:

$9x^2 - 6x^2 - 60x = 0$

$3x^2 - 60x = 0$

Вынесем общий множитель $3x$ за скобки:

$3x(x - 20) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных решения:

1) $3x = 0 \implies x_1 = 0$

2) $x - 20 = 0 \implies x_2 = 20$

Необходимо выполнить проверку найденных значений $x$, так как знаменатель геометрической прогрессии не может быть неопределенным, а её члены, как правило, отличны от нуля.

Проверка при $x = 0$

Подставим $x = 0$ в исходные выражения:

$b_1 = 6 \cdot 0 = 0$

$b_2 = 3 \cdot 0 = 0$

$b_3 = 0 + 10 = 10$

Получилась последовательность: $0, 0, 10$. Если первый член геометрической прогрессии равен нулю, то все последующие члены также должны быть равны нулю. Так как $b_3 = 10$, данная последовательность не является геометрической. Значит, значение $x=0$ не является решением.

Проверка при $x = 20$

Подставим $x = 20$ в исходные выражения:

$b_1 = 6 \cdot 20 = 120$

$b_2 = 3 \cdot 20 = 60$

$b_3 = 20 + 10 = 30$

Получилась последовательность: $120, 60, 30$. Проверим, является ли она геометрической прогрессией, найдя её знаменатель $q$:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{60}{120} = \frac{1}{2}$

$q = \frac{b_3}{b_2} = \frac{30}{60} = \frac{1}{2}$

Отношение последующего члена к предыдущему постоянно, значит, последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем $q = 1/2$. Следовательно, значение $x=20$ является решением задачи.

Ответ: 20