Номер 6, страница 139, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

6. Первый член бесконечной геометрической прогрессии равен $\frac{1}{3}$, а её знаменатель равен $\frac{3}{4}$. Каждому началу предложения, записанному в левом столбце, поставьте в соответствие окончание предложения, записанное в правом столбце, так, чтобы образовалось верное утверждение.

Начало предложения Окончание предложения

А) Четвёртый член прогрессии равен 1) $\frac{9}{16}$

Б) Сумма трёх первых членов прогрессии равна 2) $\frac{4}{3}$

В) Сумма прогрессии равна 3) $\frac{37}{48}$

4) $\frac{35}{48}$

5) $\frac{9}{64}$

По условию задачи, мы имеем дело с бесконечной геометрической прогрессией, у которой первый член $b_1 = \frac{1}{3}$, а знаменатель $q = \frac{3}{4}$.

А) Четвёртый член прогрессии равен

Формула для нахождения n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.
Для нахождения четвёртого члена ($n=4$) подставим известные значения в формулу:
$b_4 = b_1 \cdot q^{4-1} = b_1 \cdot q^3 = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^3 = \frac{1}{3} \cdot \frac{27}{64} = \frac{9}{64}$.
Данное значение соответствует варианту 5) в правом столбце.
Ответ: 5

Б) Сумма трёх первых членов прогрессии равна

Формула для суммы первых n членов геометрической прогрессии: $S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$.
Найдём сумму первых трёх членов ($n=3$):
$S_3 = \frac{\frac{1}{3}\left(1 - \left(\frac{3}{4}\right)^3\right)}{1 - \frac{3}{4}} = \frac{\frac{1}{3}\left(1 - \frac{27}{64}\right)}{\frac{1}{4}} = \frac{\frac{1}{3}\left(\frac{64-27}{64}\right)}{\frac{1}{4}} = \frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{37}{64}}{\frac{1}{4}} = \frac{37}{192} \cdot 4 = \frac{37}{48}$.
Данное значение соответствует варианту 3) в правом столбце.
Ответ: 3

В) Сумма прогрессии равна

Так как знаменатель прогрессии $|q| = |\frac{3}{4}| < 1$, прогрессия является бесконечно убывающей. Её сумму можно найти по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$.
$S = \frac{\frac{1}{3}}{1 - \frac{3}{4}} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{4-3}{4}} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{4}} = \frac{1}{3} \cdot 4 = \frac{4}{3}$.
Данное значение соответствует варианту 2) в правом столбце.
Ответ: 2