Номер 12, страница 140, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

12. При каком значении $x$ значения выражений $12x$, $2x$ и $x-2$ являются последовательными членами геометрической прогрессии?

Для того чтобы три числа были последовательными членами геометрической прогрессии, необходимо, чтобы квадрат среднего члена был равен произведению двух других. Обозначим данные выражения как члены прогрессии:

$b_1 = 12x$
$b_2 = 2x$
$b_3 = x - 2$

Основное свойство геометрической прогрессии для трех последовательных членов записывается формулой:

$b_2^2 = b_1 \cdot b_3$

Подставим в эту формулу данные выражения:

$(2x)^2 = (12x) \cdot (x - 2)$

Решим полученное уравнение:

$4x^2 = 12x^2 - 24x$

Перенесем все слагаемые в одну сторону:

$12x^2 - 4x^2 - 24x = 0$

$8x^2 - 24x = 0$

Вынесем общий множитель $8x$ за скобки:

$8x(x - 3) = 0$

Это уравнение имеет два корня:

1) $8x = 0 \implies x_1 = 0$

2) $x - 3 = 0 \implies x_2 = 3$

Теперь необходимо выполнить проверку, так как члены геометрической прогрессии не должны быть равны нулю (иначе знаменатель прогрессии не определен).

Проверка для $x = 0$:

$b_1 = 12 \cdot 0 = 0$
$b_2 = 2 \cdot 0 = 0$
$b_3 = 0 - 2 = -2$

Поскольку первый член равен нулю, знаменатель прогрессии $q = b_2/b_1$ не определен. Следовательно, $x=0$ не является решением задачи.

Проверка для $x = 3$:

$b_1 = 12 \cdot 3 = 36$
$b_2 = 2 \cdot 3 = 6$
$b_3 = 3 - 2 = 1$

Получилась последовательность чисел 36, 6, 1. Все члены отличны от нуля. Проверим, является ли она геометрической прогрессией, найдя знаменатель $q$:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$

$q = \frac{b_3}{b_2} = \frac{1}{6}$

Знаменатель постоянен, значит, при $x = 3$ данные выражения являются последовательными членами геометрической прогрессии.

Ответ: 3