Номер 2, страница 141, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

2. Последовательность ($y_n$) задана формулой $n$-го члена

$y_n = 6n^2 - 1$. Какое из данных чисел является членом этой последовательности?

1) 22

2) 23

3) 24

4) 25

Для того чтобы определить, является ли предложенное число членом последовательности, заданной формулой $y_n = 6n^2 - 1$, нужно подставить это число вместо $y_n$ и решить полученное уравнение относительно $n$. Если решение для $n$ будет натуральным числом (целым и положительным), то данное число является членом последовательности.

1) 22

Проверим, может ли член последовательности быть равен 22. Составим и решим уравнение:

$6n^2 - 1 = 22$

$6n^2 = 22 + 1$

$6n^2 = 23$

$n^2 = \frac{23}{6}$

Поскольку $n = \sqrt{\frac{23}{6}}$, значение $n$ не является натуральным числом. Следовательно, 22 не является членом данной последовательности.

Ответ: не является.

2) 23

Проверим число 23:

$6n^2 - 1 = 23$

$6n^2 = 23 + 1$

$6n^2 = 24$

$n^2 = \frac{24}{6}$

$n^2 = 4$

Решением уравнения являются $n = 2$ и $n = -2$. Так как номер члена последовательности $n$ должен быть натуральным числом, нам подходит значение $n=2$. Таким образом, 23 является вторым членом данной последовательности.

Ответ: является.

3) 24

Проверим число 24:

$6n^2 - 1 = 24$

$6n^2 = 24 + 1$

$6n^2 = 25$

$n^2 = \frac{25}{6}$

Поскольку $n = \sqrt{\frac{25}{6}} = \frac{5}{\sqrt{6}}$, значение $n$ не является натуральным числом. Следовательно, 24 не является членом данной последовательности.

Ответ: не является.

4) 25

Проверим число 25:

$6n^2 - 1 = 25$

$6n^2 = 25 + 1$

$6n^2 = 26$

$n^2 = \frac{26}{6} = \frac{13}{3}$

Поскольку $n = \sqrt{\frac{13}{3}}$, значение $n$ не является натуральным числом. Следовательно, 25 не является членом данной последовательности.

Ответ: не является.

Таким образом, из всех предложенных чисел только 23 является членом последовательности.