Страница 141 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Чему равен девятый член последовательности ($x_n$), если $x_1 = -8$, $x_{n+1} = -\frac{1}{x_n}$ ?

1) $-8$
2) $8$
3) $-\frac{1}{8}$
4) $\frac{1}{8}$

По условию задачи дана последовательность $(x_n)$, которая определяется первым членом $x_1 = -8$ и рекуррентной формулой $x_{n+1} = -\frac{1}{x_n}$ для всех последующих членов. Необходимо найти девятый член этой последовательности, то есть $x_9$.

Для нахождения закономерности вычислим несколько первых членов последовательности:
Первый член нам известен: $x_1 = -8$.
Второй член: $x_2 = -\frac{1}{x_1} = -\frac{1}{-8} = \frac{1}{8}$.
Третий член: $x_3 = -\frac{1}{x_2} = -\frac{1}{\frac{1}{8}} = -1 \cdot 8 = -8$.
Четвертый член: $x_4 = -\frac{1}{x_3} = -\frac{1}{-8} = \frac{1}{8}$.

Мы видим, что значения членов последовательности повторяются с периодом 2.
Все члены с нечетными номерами ($n = 1, 3, 5, \dots$) равны $-8$.
Все члены с четными номерами ($n = 2, 4, 6, \dots$) равны $\frac{1}{8}$.

Поскольку нам нужно найти девятый член ($x_9$), а его номер 9 является нечетным числом, его значение будет таким же, как и у первого, третьего, пятого и т.д. членов.
Следовательно, $x_9 = -8$.

Ответ: -8

2. Последовательность ($y_n$) задана формулой $n$-го члена

$y_n = 6n^2 - 1$. Какое из данных чисел является членом этой последовательности?

1) 22

2) 23

3) 24

4) 25

Для того чтобы определить, является ли предложенное число членом последовательности, заданной формулой $y_n = 6n^2 - 1$, нужно подставить это число вместо $y_n$ и решить полученное уравнение относительно $n$. Если решение для $n$ будет натуральным числом (целым и положительным), то данное число является членом последовательности.

1) 22

Проверим, может ли член последовательности быть равен 22. Составим и решим уравнение:

$6n^2 - 1 = 22$

$6n^2 = 22 + 1$

$6n^2 = 23$

$n^2 = \frac{23}{6}$

Поскольку $n = \sqrt{\frac{23}{6}}$, значение $n$ не является натуральным числом. Следовательно, 22 не является членом данной последовательности.

Ответ: не является.

2) 23

Проверим число 23:

$6n^2 - 1 = 23$

$6n^2 = 23 + 1$

$6n^2 = 24$

$n^2 = \frac{24}{6}$

$n^2 = 4$

Решением уравнения являются $n = 2$ и $n = -2$. Так как номер члена последовательности $n$ должен быть натуральным числом, нам подходит значение $n=2$. Таким образом, 23 является вторым членом данной последовательности.

Ответ: является.

3) 24

Проверим число 24:

$6n^2 - 1 = 24$

$6n^2 = 24 + 1$

$6n^2 = 25$

$n^2 = \frac{25}{6}$

Поскольку $n = \sqrt{\frac{25}{6}} = \frac{5}{\sqrt{6}}$, значение $n$ не является натуральным числом. Следовательно, 24 не является членом данной последовательности.

Ответ: не является.

4) 25

Проверим число 25:

$6n^2 - 1 = 25$

$6n^2 = 25 + 1$

$6n^2 = 26$

$n^2 = \frac{26}{6} = \frac{13}{3}$

Поскольку $n = \sqrt{\frac{13}{3}}$, значение $n$ не является натуральным числом. Следовательно, 25 не является членом данной последовательности.

Ответ: не является.

Таким образом, из всех предложенных чисел только 23 является членом последовательности.

3. Чему равен шестой член арифметической прогрессии, первый член которой равен 7, а разность равна 0,8?

1) 11

2) 11,8

3) 10,2

4) 11,4

Для нахождения n-го члена арифметической прогрессии используется формула: $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ — первый член прогрессии, $d$ — разность прогрессии, а $n$ — номер члена, который нужно найти.

Согласно условию задачи, мы имеем следующие данные:

Первый член прогрессии: $a_1 = 7$.
Разность прогрессии: $d = 0,8$.
Номер искомого члена: $n = 6$.

Подставим эти значения в формулу для нахождения шестого члена прогрессии ($a_6$):

$a_6 = 7 + (6-1) \times 0,8$

Теперь выполним вычисления по порядку:

1. Сначала вычислим выражение в скобках: $6-1=5$.

$a_6 = 7 + 5 \times 0,8$

2. Затем выполним умножение: $5 \times 0,8 = 4$.

$a_6 = 7 + 4$

3. Наконец, выполним сложение:

$a_6 = 11$

Таким образом, шестой член данной арифметической прогрессии равен 11, что соответствует варианту ответа 1).

Ответ: 11

4. Найдите сумму четырнадцати первых членов арифметической прогрессии, первый член которой $a_1 = -10$, а разность $d = 6$.

1) 518

2) 476

3) 448

4) 406

Для нахождения суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии используется формула:

$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

где $S_n$ — искомая сумма, $a_1$ — первый член прогрессии, $d$ — разность прогрессии, а $n$ — количество членов.

По условию задачи нам даны следующие значения:
Первый член прогрессии $a_1 = -10$.
Разность прогрессии $d = 6$.
Количество членов $n = 14$.

Подставим эти значения в формулу для нахождения суммы первых четырнадцати членов ($S_{14}$):

$S_{14} = \frac{2 \cdot (-10) + 6 \cdot (14-1)}{2} \cdot 14$

Выполним вычисления пошагово:

1. Сначала вычисляем выражение в скобках: $14 - 1 = 13$.

2. Теперь формула принимает вид: $S_{14} = \frac{2 \cdot (-10) + 6 \cdot 13}{2} \cdot 14$.

3. Вычисляем числитель дроби: $2 \cdot (-10) + 6 \cdot 13 = -20 + 78 = 58$.

4. Подставляем полученное значение в формулу: $S_{14} = \frac{58}{2} \cdot 14$.

5. Выполняем оставшиеся действия. Можно сначала разделить 58 на 2, а затем умножить на 14, или сократить 14 и 2:

$S_{14} = 29 \cdot 14 = 406$

Таким образом, сумма первых четырнадцати членов данной арифметической прогрессии равна 406.

Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, видим, что он соответствует варианту 4).

Ответ: 406

5. Чему равен знаменатель геометрической прогрессии ($b_n$), если $b_5 = 2$, $b_8 = 432$?

1) $\frac{1}{6}$

2) $\frac{1}{216}$

3) 6

4) 216

Чтобы найти знаменатель геометрической прогрессии $q$, воспользуемся формулой, которая связывает два любых члена прогрессии $b_m$ и $b_k$: $b_m = b_k \cdot q^{m-k}$.

По условию задачи, нам известны пятый член прогрессии $b_5 = 2$ и восьмой член $b_8 = 432$. Подставим эти данные в формулу, приняв $m=8$ и $k=5$:
$b_8 = b_5 \cdot q^{8-5}$
$432 = 2 \cdot q^3$

Теперь решим это уравнение относительно $q$:
$q^3 = \frac{432}{2}$
$q^3 = 216$

Для нахождения $q$ необходимо извлечь кубический корень из 216.
$q = \sqrt[3]{216}$
Так как $6^3 = 6 \times 6 \times 6 = 216$, то $q = 6$.

Ответ: 6

6. Первый член бесконечной геометрической прогрессии равен $\frac{3}{5}$, а её знаменатель равен $-\frac{1}{3}$. Каждому началу предложения, записанному в левом столбце, поставьте в соответствие окончание предложения, записанное в правом столбце, так, чтобы образовалось верное утверждение.

Начало предложения

Окончание предложения

А) Третий член прогрессии равен

Б) Сумма трёх первых членов прогрессии равна

В) Сумма прогрессии равна

1) $\frac{9}{20}$

2) $\frac{9}{10}$

3) $\frac{8}{15}$

4) $\frac{7}{15}$

5) $\frac{1}{15}$

По условию задачи, дана бесконечная геометрическая прогрессия, у которой первый член $b_1 = \frac{3}{5}$ и знаменатель $q = \frac{1}{3}$.

Формула для нахождения n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$. Для нахождения третьего члена (n=3) подставим известные значения в формулу: $b_3 = b_1 \cdot q^{3-1} = b_1 \cdot q^2 = \frac{3}{5} \cdot (\frac{1}{3})^2 = \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{9} = \frac{3}{45} = \frac{1}{15}$. Этот результат соответствует варианту ответа 5).
Ответ: 5

При решении пункта Б с заданными в условии значениями ($b_1=\frac{3}{5}$ и $q=\frac{1}{3}$) получается сумма первых трёх членов $S_3 = \frac{13}{15}$, которой нет среди вариантов ответа. Это указывает на вероятную опечатку в условии. Если предположить, что знаменатель прогрессии на самом деле равен $q = -\frac{1}{3}$, то все пункты задания получают однозначное соответствие среди предложенных вариантов. Проведем дальнейшие вычисления с учетом этого предположения.

Примем, что $q = -\frac{1}{3}$. Найдем первые три члена прогрессии:

• Первый член: $b_1 = \frac{3}{5}$
• Второй член: $b_2 = b_1 \cdot q = \frac{3}{5} \cdot (-\frac{1}{3}) = -\frac{1}{5}$
• Третий член: $b_3 = b_1 \cdot q^2 = \frac{3}{5} \cdot (-\frac{1}{3})^2 = \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{9} = \frac{1}{15}$

Теперь найдем их сумму $S_3$: $S_3 = b_1 + b_2 + b_3 = \frac{3}{5} - \frac{1}{5} + \frac{1}{15} = \frac{2}{5} + \frac{1}{15} = \frac{6}{15} + \frac{1}{15} = \frac{7}{15}$. Этот результат соответствует варианту ответа 4).
Ответ: 4

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии (при $|q|<1$) находится по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$. Подставим $b_1 = \frac{3}{5}$ и наше предположенное значение $q = -\frac{1}{3}$: $S = \frac{\frac{3}{5}}{1 - (-\frac{1}{3})} = \frac{\frac{3}{5}}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{3}} = \frac{3}{5} \cdot \frac{3}{4} = \frac{9}{20}$. Этот результат соответствует варианту ответа 1).
Ответ: 1

7. Какой номер члена арифметической прогрессии $(a_n)$, равного $-26,4$, если $a_1 = 1,6$, а разность $d = -7$?

Для нахождения номера члена арифметической прогрессии используется формула n-го члена:

$a_n = a_1 + (n-1)d$

где $a_n$ — n-й член прогрессии, $a_1$ — первый член, $d$ — разность прогрессии, а $n$ — искомый номер члена.

Из условия задачи нам известны следующие значения:

• $a_n = -26,4$
• $a_1 = 1,6$
• $d = -7$

Подставим эти значения в формулу и решим уравнение относительно $n$:

$-26,4 = 1,6 + (n-1) \cdot (-7)$

Сначала вычтем $1,6$ из обеих частей уравнения:

$-26,4 - 1,6 = (n-1) \cdot (-7)$

$-28 = (n-1) \cdot (-7)$

Теперь разделим обе части уравнения на $-7$:

$\frac{-28}{-7} = n-1$

$4 = n-1$

Наконец, найдем $n$, прибавив $1$ к обеим частям:

$n = 4 + 1$

$n = 5$

Следовательно, член прогрессии, равный $-26,4$, является пятым членом данной арифметической прогрессии.

Ответ: 5