Страница 137 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Чему равен седьмой член последовательности ($x_n$), если

$x_1 = -6, x_{n+1} = -\frac{1}{x_n}$?

1) $6$

2) $-6$

3) $\frac{1}{6}$

4) $-\frac{1}{6}$

По условию задачи дана последовательность $(x_n)$, в которой первый член $x_1 = -6$, а каждый последующий член определяется по рекуррентной формуле $x_{n+1} = -\frac{1}{x_n}$.

Чтобы найти седьмой член последовательности, $x_7$, вычислим несколько первых членов для нахождения закономерности.

Первый член известен:
$x_1 = -6$

Вычисляем второй член:
$x_2 = -\frac{1}{x_1} = -\frac{1}{-6} = \frac{1}{6}$

Вычисляем третий член:
$x_3 = -\frac{1}{x_2} = -\frac{1}{\frac{1}{6}} = -6$

Вычисляем четвертый член:
$x_4 = -\frac{1}{x_3} = -\frac{1}{-6} = \frac{1}{6}$

Мы видим, что последовательность является периодической с периодом 2. Члены с нечетными номерами равны -6, а члены с четными номерами равны $\frac{1}{6}$.
$x_n = \begin{cases} -6, & \text{если n — нечетное число} \\ \frac{1}{6}, & \text{если n — четное число} \end{cases}$

Так как нам нужно найти седьмой член ($n=7$), а 7 является нечетным числом, его значение будет равно значению первого члена.
$x_7 = -6$

Ответ: -6

2. Последовательность $(y_n)$ задана формулой $n$-го члена $y_n = 3n^2 - 8$. Какое из данных чисел является членом этой последовательности?

1) 64

2) 65

3) 66

4) 67

Чтобы определить, какое из данных чисел является членом последовательности, заданной формулой $y_n = 3n^2 - 8$, нужно для каждого числа проверить, существует ли натуральное число $n$ (порядковый номер члена), при котором значение $y_n$ будет равно этому числу.

Для этого поочередно подставим каждое из предложенных чисел в формулу вместо $y_n$ и попытаемся найти $n$.

1) 64

Проверим, может ли $y_n$ быть равным 64:

$3n^2 - 8 = 64$

$3n^2 = 64 + 8$

$3n^2 = 72$

$n^2 = \frac{72}{3}$

$n^2 = 24$

Чтобы найти $n$, нужно извлечь квадратный корень из 24. Так как 24 не является полным квадратом ($4^2=16$, $5^2=25$), то $n = \sqrt{24}$ не является натуральным числом. Следовательно, 64 не является членом этой последовательности.

2) 65

Проверим, может ли $y_n$ быть равным 65:

$3n^2 - 8 = 65$

$3n^2 = 65 + 8$

$3n^2 = 73$

$n^2 = \frac{73}{3}$

Число 73 не делится на 3 без остатка, поэтому $n^2$ не является целым числом, а значит $n$ не может быть натуральным числом. Следовательно, 65 не является членом этой последовательности.

3) 66

Проверим, может ли $y_n$ быть равным 66:

$3n^2 - 8 = 66$

$3n^2 = 66 + 8$

$3n^2 = 74$

$n^2 = \frac{74}{3}$

Число 74 не делится на 3 без остатка, поэтому $n^2$ не является целым числом, а значит $n$ не может быть натуральным числом. Следовательно, 66 не является членом этой последовательности.

4) 67

Проверим, может ли $y_n$ быть равным 67:

$3n^2 - 8 = 67$

$3n^2 = 67 + 8$

$3n^2 = 75$

$n^2 = \frac{75}{3}$

$n^2 = 25$

Решением этого уравнения является $n = 5$ (так как $n$ должно быть натуральным числом, отрицательный корень $n=-5$ не рассматриваем). Поскольку мы нашли натуральное число $n=5$, число 67 является членом данной последовательности. Это пятый член последовательности ($y_5$).

Ответ: 67

3. Чему равен восьмой член арифметической прогрессии, первый член которой равен 8, а разность равна 0,4?

1) 11,2 2) 10,8 3) 11 4) 10,4

Для нахождения n-го члена арифметической прогрессии используется формула: $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_n$ — n-й член прогрессии, $a_1$ — первый член прогрессии, $n$ — номер члена прогрессии, а $d$ — разность прогрессии.

По условию задачи нам даны следующие значения:

• Первый член прогрессии $a_1 = 8$.
• Разность прогрессии $d = 0,4$.

Нам необходимо найти восьмой член прогрессии, то есть $n = 8$.

Подставим известные значения в формулу:

$a_8 = a_1 + (8-1)d$

$a_8 = 8 + (7) \cdot 0,4$

Выполним вычисления:

$a_8 = 8 + 2,8$

$a_8 = 10,8$

Таким образом, восьмой член арифметической прогрессии равен 10,8. Это соответствует варианту ответа 2).

Ответ: 10,8.

4. Найдите сумму двенадцати первых членов арифметической прогрессии, первый член которой $a_1 = -12$, а разность $d=3$.

1) 54

2) 126

3) 72

4) 144

Для того чтобы найти сумму первых $n$ членов арифметической прогрессии, можно использовать формулу:

$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

где $S_n$ — сумма первых $n$ членов, $a_1$ — первый член прогрессии, $d$ — разность прогрессии, а $n$ — количество членов.

По условию задачи нам даны:
- первый член $a_1 = -12$;
- разность $d = 3$;
- количество членов $n = 12$.

Подставим эти значения в формулу для вычисления суммы первых двенадцати членов ($S_{12}$):

$S_{12} = \frac{2 \cdot (-12) + 3 \cdot (12-1)}{2} \cdot 12$

Теперь проведем вычисления по шагам:

1. Вычислим значение в скобках: $12 - 1 = 11$.

2. Подставим это значение обратно в формулу: $S_{12} = \frac{2 \cdot (-12) + 3 \cdot 11}{2} \cdot 12$.

3. Выполним умножение в числителе: $2 \cdot (-12) = -24$ и $3 \cdot 11 = 33$.

4. Формула примет вид: $S_{12} = \frac{-24 + 33}{2} \cdot 12$.

5. Выполним сложение в числителе: $-24 + 33 = 9$.

6. Теперь формула выглядит так: $S_{12} = \frac{9}{2} \cdot 12$.

7. Выполним финальное вычисление: $S_{12} = 9 \cdot \frac{12}{2} = 9 \cdot 6 = 54$.

Таким образом, сумма двенадцати первых членов арифметической прогрессии равна 54.

Ответ: 54

5. Чему равен знаменатель геометрической прогрессии $(b_n)$, если $b_2 = 5$, $b_5 = 320$?

1) 16

2) 64

3) 8

4) 4

Для нахождения знаменателя геометрической прогрессии $q$ воспользуемся формулой, связывающей любые два члена прогрессии: $b_m = b_k \cdot q^{m-k}$, где $b_m$ и $b_k$ — члены прогрессии с номерами $m$ и $k$.

В нашем случае даны второй и пятый члены прогрессии: $b_2 = 5$ и $b_5 = 320$. Подставим эти значения в формулу, где $m=5$ и $k=2$:

$b_5 = b_2 \cdot q^{5-2}$

$320 = 5 \cdot q^3$

Теперь выразим $q^3$, разделив обе части уравнения на 5:

$q^3 = \frac{320}{5}$

$q^3 = 64$

Чтобы найти $q$, нужно извлечь кубический корень из 64:

$q = \sqrt[3]{64}$

Так как $4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$, то $q = 4$.

Знаменатель геометрической прогрессии равен 4, что соответствует варианту ответа под номером 4.

Ответ: 4

6. Первый член бесконечной геометрической прогрессии равен $\frac{4}{5}$, а её знаменатель равен $-\frac{1}{4}$. Каждому началу предложения, записанному в левом столбце, поставьте в соответствие окончание предложения, записанное в правом столбце, так, чтобы образовалось верное утверждение.

Начало предложения

А) Третий член прогрессии равен

Б) Сумма трёх первых членов прогрессии равна

В) Сумма прогрессии равна

Окончание предложения

1) $\frac{13}{25}$

2) $\frac{13}{20}$

3) $\frac{1}{20}$

4) $\frac{1}{25}$

5) $\frac{16}{25}$

По условию задачи дана бесконечная геометрическая прогрессия, у которой первый член $b_1 = \frac{4}{5}$ и знаменатель $q = -\frac{1}{4}$.

Для нахождения n-го члена геометрической прогрессии используется формула $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.
Найдём третий член прогрессии, подставив $n=3$ в формулу:
$b_3 = b_1 \cdot q^{3-1} = b_1 \cdot q^2$
$b_3 = \frac{4}{5} \cdot \left(-\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{16} = \frac{4}{80} = \frac{1}{20}$.
Данное значение соответствует варианту 3) в правом столбце.
Ответ: 3.

Сумму трёх первых членов $S_3$ можно найти по формуле $S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$ или сложив первые три члена: $S_3 = b_1 + b_2 + b_3$. Воспользуемся вторым способом.
Первый член $b_1 = \frac{4}{5}$.
Второй член $b_2 = b_1 \cdot q = \frac{4}{5} \cdot \left(-\frac{1}{4}\right) = -\frac{1}{5}$.
Третий член $b_3 = b_2 \cdot q = -\frac{1}{5} \cdot \left(-\frac{1}{4}\right) = \frac{1}{20}$ (также вычислен в пункте А).
Теперь найдём сумму:
$S_3 = b_1 + b_2 + b_3 = \frac{4}{5} - \frac{1}{5} + \frac{1}{20} = \frac{3}{5} + \frac{1}{20}$.
Приведём дроби к общему знаменателю 20:
$S_3 = \frac{3 \cdot 4}{5 \cdot 4} + \frac{1}{20} = \frac{12}{20} + \frac{1}{20} = \frac{13}{20}$.
Данное значение соответствует варианту 2) в правом столбце.
Ответ: 2.

Так как знаменатель прогрессии по модулю меньше единицы ($|q| = |-\frac{1}{4}| = \frac{1}{4} < 1$), прогрессия является бесконечно убывающей. Её сумму можно найти по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$.
Подставим известные значения в формулу:
$S = \frac{\frac{4}{5}}{1 - \left(-\frac{1}{4}\right)} = \frac{\frac{4}{5}}{1 + \frac{1}{4}} = \frac{\frac{4}{5}}{\frac{5}{4}}$.
Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную ей дробь:
$S = \frac{4}{5} \cdot \frac{4}{5} = \frac{16}{25}$.
Данное значение соответствует варианту 5) в правом столбце.
Ответ: 5.

7. Какой номер члена арифметической прогрессии $(a_n)$, равного $-39.2$, если $a_1 = 2.8$, а разность $d = -6$?

Для решения этой задачи используется формула n-го члена арифметической прогрессии:

$a_n = a_1 + (n-1)d$

где:

• $a_n$ – n-й член прогрессии,
• $a_1$ – первый член прогрессии,
• $d$ – разность прогрессии,
• $n$ – номер искомого члена.

По условию задачи нам известны следующие значения:

• $a_n = -39,2$
• $a_1 = 2,8$
• $d = -6$

Подставим эти значения в формулу и решим получившееся уравнение относительно $n$:

$-39,2 = 2,8 + (n-1) \cdot (-6)$

Перенесем $2,8$ в левую часть уравнения, изменив знак на противоположный:

$-39,2 - 2,8 = (n-1) \cdot (-6)$

$-42 = (n-1) \cdot (-6)$

Теперь разделим обе части уравнения на $-6$, чтобы найти значение выражения $(n-1)$:

$n-1 = \frac{-42}{-6}$

$n-1 = 7$

Наконец, найдем $n$:

$n = 7 + 1$

$n = 8$

Таким образом, номер члена арифметической прогрессии, равного $-39,2$, равен 8.

Ответ: 8