Страница 131 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Государству принадлежит 70 % акций предприятия, остальные акции принадлежат частным лицам. Общая прибыль предприятия за год после уплаты налогов составила 110 млн р. Какая сумма из этой прибыли должна пойти на выплату дивидендов частным акционерам?

1) 3,3 млн р.

2) 33 млн р.

3) 7,7 млн р.

4) 77 млн р.

Решение:

1. Сначала определим, какой процент акций принадлежит частным лицам. Общее количество акций составляет 100%. Если государству принадлежит 70%, то доля частных лиц равна:

$100\% - 70\% = 30\%$

2. Дивиденды распределяются пропорционально доле владения акциями. Следовательно, частные акционеры должны получить 30% от общей прибыли после уплаты налогов.

3. Рассчитаем сумму дивидендов для частных акционеров от общей прибыли в 110 млн р.:

$110 \text{ млн р.} \times \frac{30}{100} = 110 \times 0,3 = 33 \text{ млн р.}$

Таким образом, сумма, которая должна пойти на выплату дивидендов частным акционерам, составляет 33 млн р.

Ответ: 33 млн р.

2. В прошлом году абонентная плата за пользование телефоном составляла 400 р. в месяц, а в этом году — 448 р. На сколько процентов увеличилась абонентная плата?

1) 0,12 %

2) 1,2 %

3) 12 %

4) 112 %

Чтобы определить, на сколько процентов увеличилась абонентская плата, необходимо сначала найти абсолютное изменение цены, а затем вычислить, какую долю это изменение составляет от первоначальной цены, и выразить эту долю в процентах.

1. Найдем абсолютное увеличение абонентской платы.

Для этого вычтем из новой стоимости (448 р.) старую стоимость (400 р.):

$448 - 400 = 48$ рублей.

2. Рассчитаем процентное увеличение.

За основу для расчета процентов (100%) берется первоначальная стоимость, то есть 400 рублей. Чтобы найти, сколько процентов составляет увеличение (48 рублей) от базовой суммы, нужно разделить сумму увеличения на базовую сумму и умножить на 100%.

$\frac{\text{увеличение}}{\text{первоначальная стоимость}} \times 100\% = \frac{48}{400} \times 100\%$

Выполним вычисления:

$\frac{48}{400} \times 100\% = 0,12 \times 100\% = 12\%$

Таким образом, абонентская плата увеличилась на 12%. Этот вариант соответствует пункту 3) в предложенных ответах.

Ответ: 12 %

3. Вкладчик положил в банк 60 000 р. под 10 % годовых. Сколько денег будет на его счёте через 2 года, если никаких операций со счётом, кроме ежегодного начисления процентов, проводиться не будет?

1) 72 000 р.

2) 72 060 р.

3) 72 600 р.

4) 66 000 р.

Для решения этой задачи необходимо рассчитать сумму вклада с учетом ежегодного начисления сложных процентов. Это означает, что проценты за каждый следующий год начисляются не только на первоначальную сумму вклада, но и на проценты, начисленные за предыдущие годы.

Дано:
Первоначальная сумма вклада: 60 000 р.
Годовая процентная ставка: 10 %.
Срок вклада: 2 года.

Решение по годам:

1. Сумма на счете через 1 год.
Сначала рассчитаем сумму процентов, которая будет начислена за первый год. 10% от 60 000 р. составляют:
$60000 * \frac{10}{100} = 6000$ р.
Теперь добавим эту сумму к начальному вкладу, чтобы узнать, сколько денег будет на счете в конце первого года:
$60000 + 6000 = 66000$ р.

2. Сумма на счете через 2 года.
На второй год проценты будут начисляться уже на новую сумму, то есть на 66 000 р. Рассчитаем 10% от этой суммы:
$66000 * \frac{10}{100} = 6600$ р.
Теперь добавим проценты за второй год к сумме, которая была на счете в начале второго года:
$66000 + 6600 = 72600$ р.

Альтернативное решение по формуле сложных процентов:

Можно также использовать общую формулу для расчета сложных процентов:
$S = P * (1 + \frac{r}{100})^t$
где $S$ – итоговая сумма, $P$ – первоначальная сумма, $r$ – годовая процентная ставка, $t$ – количество лет.
Подставим наши значения:
$S = 60000 * (1 + \frac{10}{100})^2 = 60000 * (1 + 0,1)^2 = 60000 * (1,1)^2$
$S = 60000 * 1,21 = 72600$ р.

Таким образом, через 2 года на счете будет 72 600 р. Этот результат соответствует варианту ответа 3).

Ответ: 72 600 р.

4. Известно, что $x = 41,8 \pm 0,3$. Какому из данных чисел может быть равным точное значение $x$?

1) 42,2 2) 41,9 3) 41,4 4) 41

Запись $x = 41,8 \pm 0,3$ означает, что точное значение переменной $x$ находится в некотором интервале. Это можно представить в виде двойного неравенства.

Найдем нижнюю и верхнюю границы этого интервала:

Нижняя граница: $41,8 - 0,3 = 41,5$

Верхняя граница: $41,8 + 0,3 = 42,1$

Следовательно, точное значение $x$ должно удовлетворять условию: $41,5 \le x \le 42,1$.

Теперь проверим, какое из предложенных чисел попадает в данный промежуток $[41,5; 42,1]$.

1) 42,2: это число не входит в интервал, так как оно больше верхней границы ($42,2 > 42,1$).

2) 41,9: это число входит в интервал, так как выполняется неравенство $41,5 \le 41,9 \le 42,1$.

3) 41,4: это число не входит в интервал, так как оно меньше нижней границы ($41,4 < 41,5$).

4) 41: это число не входит в интервал, так как оно меньше нижней границы ($41 < 41,5$).

Таким образом, единственным числом из предложенных, которое может быть равным точному значению $x$, является 41,9.

Ответ: 2) 41,9

5. Чему равна абсолютная погрешность приближения числа 5,126 числом 5,13?

1) -0,004

2) 0,004

3) 0,04

4) 0,4

Абсолютная погрешность приближения — это модуль разности между точным значением и его приближённым значением. Она вычисляется по формуле: $\Delta = |x - a|$, где $x$ — точное значение, а $a$ — приближённое значение.

В данном случае:
Точное значение $x = 5,126$.
Приближённое значение $a = 5,13$.

Подставим эти значения в формулу, чтобы найти абсолютную погрешность:
$\Delta = |5,126 - 5,13|$

Сначала вычислим разность в скобках модуля:
$5,126 - 5,13 = -0,004$

Теперь найдём модуль полученного числа:
$\Delta = |-0,004| = 0,004$

Таким образом, абсолютная погрешность приближения равна 0,004. Этот результат соответствует варианту ответа 2).

Ответ: 0,004

6. Из натуральных чисел, которые больше 19 и меньше 30, наугад выбирают одно число. Установите соответствие между событиями, записанными в левом столбце, и их вероятностями, записанными в правом столбце.

События

Вероятности событий

А) выбранное число является двузначным

1) $0$

Б) выбранное число делится нацело на 4

2) $0.2$

В) выбранное число является простым

3) $0.3$

4) $0.5$

5) $1$

Для решения задачи сначала определим множество натуральных чисел, из которых производится выбор. Это числа, которые больше 19 и меньше 30. Выпишем их: 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29.

Всего в этом множестве 10 чисел. Это общее число равновозможных исходов, то есть $N=10$.

Вероятность события рассчитывается по формуле классической вероятности: $P = \frac{m}{N}$, где $m$ — число благоприятных исходов, а $N$ — общее число исходов.

А) выбранное число является двузначным

Все числа в заданном множестве {20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29} являются двузначными. Следовательно, число благоприятных исходов $m$ равно общему числу исходов $N$. Таким образом, $m = 10$. Вероятность этого события является достоверной и равна:$P(A) = \frac{m}{N} = \frac{10}{10} = 1$.
Это значение соответствует варианту 5) в правом столбце.
Ответ: 5

Б) выбранное число делится нацело на 4

Найдем среди чисел {20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29} те, которые делятся на 4 без остатка. Это числа: 20, 24, 28. Число благоприятных исходов $m = 3$.
Вероятность этого события равна:$P(Б) = \frac{m}{N} = \frac{3}{10} = 0,3$.
Это значение соответствует варианту 3) в правом столбце.
Ответ: 3

В) выбранное число является простым

Простое число — это натуральное число больше 1, которое имеет ровно два различных натуральных делителя: 1 и само себя. Найдем простые числа в нашем множестве {20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29}.
Простыми из них являются только 23 и 29.
Число благоприятных исходов $m = 2$.
Вероятность этого события равна:$P(В) = \frac{m}{N} = \frac{2}{10} = 0,2$.
Это значение соответствует варианту 2) в правом столбце.
Ответ: 2

7. Пиджак стоил 1200 р. Сначала его цену снизили, а затем повысили на одно и то же количество процентов. После этого пиджак стал стоить 1008 р. На сколько процентов изменяли каждый раз цену пиджака?

Пусть $x$ — искомое количество процентов. Тогда изменение цены можно выразить десятичной дробью как $\frac{x}{100}$.

Первоначальная цена пиджака — 1200 рублей.

1. Снижение цены.
После снижения цены на $x$ процентов, новая цена составила: $1200 \cdot (1 - \frac{x}{100})$ рублей.

2. Повышение цены.
Затем новую цену повысили на те же $x$ процентов. Важно отметить, что проценты теперь вычисляются от новой, сниженной цены: $(1200 \cdot (1 - \frac{x}{100})) \cdot (1 + \frac{x}{100})$ рублей.

По условию задачи, конечная цена пиджака стала 1008 рублей. Мы можем составить уравнение: $1200 \cdot (1 - \frac{x}{100}) \cdot (1 + \frac{x}{100}) = 1008$

Для упрощения левой части уравнения воспользуемся формулой разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:
$1200 \cdot (1^2 - (\frac{x}{100})^2) = 1008$
$1200 \cdot (1 - \frac{x^2}{10000}) = 1008$

Теперь решим это уравнение относительно $x$:
$1 - \frac{x^2}{10000} = \frac{1008}{1200}$
Сократим дробь в правой части (например, разделив числитель и знаменатель на 12):
$\frac{1008 \div 12}{1200 \div 12} = \frac{84}{100} = 0.84$
$1 - \frac{x^2}{10000} = 0.84$
Выразим $\frac{x^2}{10000}$:
$\frac{x^2}{10000} = 1 - 0.84$
$\frac{x^2}{10000} = 0.16$
Теперь найдем $x^2$:
$x^2 = 0.16 \cdot 10000$
$x^2 = 1600$
Извлечем квадратный корень (берем только положительное значение, так как процент не может быть отрицательным):
$x = \sqrt{1600}$
$x = 40$

Следовательно, цену пиджака каждый раз изменяли на 40 процентов.

Ответ: на 40 процентов.