Страница 139 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Чему равен восьмой член последовательности $(x_n)$, если $x_1 = 7$, $x_{n+1} = -\frac{1}{x_n}$?

1) $\frac{1}{7}$

2) $7$

3) $-\frac{1}{7}$

4) $-7$

Для нахождения восьмого члена последовательности $(x_n)$, заданной условиями $x_1 = 7$ и рекуррентной формулой $x_{n+1} = -\frac{1}{x_n}$, вычислим несколько первых членов этой последовательности.

Первый член нам известен из условия:

$x_1 = 7$

Теперь, используя формулу, найдем следующие члены:

Для $n=1$, второй член равен:

$x_2 = -\frac{1}{x_1} = -\frac{1}{7}$

Для $n=2$, третий член равен:

$x_3 = -\frac{1}{x_2} = -\frac{1}{-\frac{1}{7}} = 7$

Для $n=3$, четвертый член равен:

$x_4 = -\frac{1}{x_3} = -\frac{1}{7}$

Можно заметить, что последовательность является периодической. Члены с нечетными номерами равны 7, а члены с четными номерами равны $-\frac{1}{7}$.

Так как нам нужно найти восьмой член последовательности ($x_8$), а 8 — это четное число, то его значение будет таким же, как у всех членов с четными номерами.

$x_8 = -\frac{1}{7}$

Ответ: $-\frac{1}{7}$

2. Последовательность ($y_n$) задана формулой $n$-го члена

$y_n = 5n^2 - 6$. Какое из данных чисел является членом этой последовательности?

1) 38 2) 39 3) 40 4) 41

Последовательность задана формулой n-го члена $y_n = 5n^2 - 6$. Чтобы определить, является ли какое-либо из предложенных чисел членом этой последовательности, необходимо подставить это число вместо $y_n$ и решить полученное уравнение относительно $n$. Если в результате решения получается натуральное число $n$ (то есть, $n \in \{1, 2, 3, ...\}$), то данное число является членом последовательности. Проверим последовательно каждый из вариантов.

1) 38
Приравняем n-й член последовательности к 38 и решим уравнение относительно $n$:
$5n^2 - 6 = 38$
$5n^2 = 38 + 6$
$5n^2 = 44$
$n^2 = \frac{44}{5} = 8.8$
Так как $n = \sqrt{8.8}$, а это не натуральное число, то 38 не является членом данной последовательности.
Ответ: не является.

2) 39
Приравняем n-й член последовательности к 39 и решим уравнение относительно $n$:
$5n^2 - 6 = 39$
$5n^2 = 39 + 6$
$5n^2 = 45$
$n^2 = \frac{45}{5} = 9$
$n = \sqrt{9} = 3$
Поскольку $n=3$ — это натуральное число, число 39 является членом данной последовательности. Это третий член последовательности ($y_3$).
Ответ: является.

3) 40
Приравняем n-й член последовательности к 40 и решим уравнение относительно $n$:
$5n^2 - 6 = 40$
$5n^2 = 40 + 6$
$5n^2 = 46$
$n^2 = \frac{46}{5} = 9.2$
Так как $n = \sqrt{9.2}$, а это не натуральное число, то 40 не является членом данной последовательности.
Ответ: не является.

4) 41
Приравняем n-й член последовательности к 41 и решим уравнение относительно $n$:
$5n^2 - 6 = 41$
$5n^2 = 41 + 6$
$5n^2 = 47$
$n^2 = \frac{47}{5} = 9.4$
Так как $n = \sqrt{9.4}$, а это не натуральное число, то 41 не является членом данной последовательности.
Ответ: не является.

3. Чему равен девятый член арифметической прогрессии, первый член которой равен 9, а разность равна 0,7?

1) 15 2) 15,3 3) 14,6 4) 14,8

Для нахождения n-го члена арифметической прогрессии используется формула: $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ – первый член прогрессии, $d$ – разность прогрессии, а $n$ – номер искомого члена.

По условию задачи дано: первый член $a_1 = 9$, разность $d = 0,7$. Необходимо найти девятый член прогрессии, следовательно, $n=9$.

Подставим эти значения в формулу:

$a_9 = 9 + (9 - 1) \times 0,7$

Выполним вычисления по шагам:

$a_9 = 9 + 8 \times 0,7$

$a_9 = 9 + 5,6$

$a_9 = 14,6$

Таким образом, девятый член данной арифметической прогрессии равен 14,6.

Ответ: 14,6

4. Найдите сумму восьми первых членов арифметической прогрессии, первый член которой $a_1 = -16$, а разность $d=5$.

1) 12

2) 32

3) 76

4) 96

Для решения задачи необходимо найти сумму восьми первых членов арифметической прогрессии. Воспользуемся формулой для суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:

$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

где $a_1$ — первый член прогрессии, $d$ — её разность, а $n$ — количество членов.

Согласно условию задачи, мы имеем следующие данные:

• Первый член прогрессии $a_1 = -16$.
• Разность прогрессии $d = 5$.
• Количество членов $n = 8$.

Подставим эти значения в формулу:

$S_8 = \frac{2 \cdot (-16) + 5 \cdot (8-1)}{2} \cdot 8$

Теперь выполним вычисления по шагам:

1. Вычисляем выражение в скобках: $8 - 1 = 7$.

$S_8 = \frac{2 \cdot (-16) + 5 \cdot 7}{2} \cdot 8$

2. Выполняем умножение в числителе дроби:

$S_8 = \frac{-32 + 35}{2} \cdot 8$

3. Выполняем сложение в числителе:

$S_8 = \frac{3}{2} \cdot 8$

4. Умножаем полученную дробь на 8:

$S_8 = 3 \cdot \frac{8}{2} = 3 \cdot 4 = 12$

Таким образом, сумма восьми первых членов арифметической прогрессии равна 12. Этот результат соответствует варианту ответа 1).

Ответ: 12

5. Чему равен знаменатель геометрической прогрессии $(b_n)$, если $b_4 = 6$, $b_7 = 162$?

1) $\frac{1}{3}$

2) 3

3) 9

4) 27

Для решения задачи воспользуемся формулой n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель.

Мы можем выразить один член прогрессии через другой. В общем виде формула выглядит так: $b_m = b_k \cdot q^{m-k}$.

По условию задачи нам даны четвертый и седьмой члены прогрессии:

$b_4 = 6$

$b_7 = 162$

Подставим эти значения в формулу, приняв $m=7$ и $k=4$:

$b_7 = b_4 \cdot q^{7-4}$

$162 = 6 \cdot q^3$

Теперь решим полученное уравнение, чтобы найти знаменатель $q$. Разделим обе части уравнения на 6:

$q^3 = \frac{162}{6}$

$q^3 = 27$

Чтобы найти $q$, извлечём кубический корень из 27:

$q = \sqrt[3]{27}$

$q = 3$

Знаменатель геометрической прогрессии равен 3. Это соответствует варианту ответа 2.

Ответ: 3

6. Первый член бесконечной геометрической прогрессии равен $\frac{1}{3}$, а её знаменатель равен $\frac{3}{4}$. Каждому началу предложения, записанному в левом столбце, поставьте в соответствие окончание предложения, записанное в правом столбце, так, чтобы образовалось верное утверждение.

Начало предложения Окончание предложения

А) Четвёртый член прогрессии равен 1) $\frac{9}{16}$

Б) Сумма трёх первых членов прогрессии равна 2) $\frac{4}{3}$

В) Сумма прогрессии равна 3) $\frac{37}{48}$

4) $\frac{35}{48}$

5) $\frac{9}{64}$

По условию задачи, мы имеем дело с бесконечной геометрической прогрессией, у которой первый член $b_1 = \frac{1}{3}$, а знаменатель $q = \frac{3}{4}$.

А) Четвёртый член прогрессии равен

Формула для нахождения n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.
Для нахождения четвёртого члена ($n=4$) подставим известные значения в формулу:
$b_4 = b_1 \cdot q^{4-1} = b_1 \cdot q^3 = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^3 = \frac{1}{3} \cdot \frac{27}{64} = \frac{9}{64}$.
Данное значение соответствует варианту 5) в правом столбце.
Ответ: 5

Б) Сумма трёх первых членов прогрессии равна

Формула для суммы первых n членов геометрической прогрессии: $S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$.
Найдём сумму первых трёх членов ($n=3$):
$S_3 = \frac{\frac{1}{3}\left(1 - \left(\frac{3}{4}\right)^3\right)}{1 - \frac{3}{4}} = \frac{\frac{1}{3}\left(1 - \frac{27}{64}\right)}{\frac{1}{4}} = \frac{\frac{1}{3}\left(\frac{64-27}{64}\right)}{\frac{1}{4}} = \frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{37}{64}}{\frac{1}{4}} = \frac{37}{192} \cdot 4 = \frac{37}{48}$.
Данное значение соответствует варианту 3) в правом столбце.
Ответ: 3

В) Сумма прогрессии равна

Так как знаменатель прогрессии $|q| = |\frac{3}{4}| < 1$, прогрессия является бесконечно убывающей. Её сумму можно найти по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$.
$S = \frac{\frac{1}{3}}{1 - \frac{3}{4}} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{4-3}{4}} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{4}} = \frac{1}{3} \cdot 4 = \frac{4}{3}$.
Данное значение соответствует варианту 2) в правом столбце.
Ответ: 2

7. Какой номер члена арифметической прогрессии $(a_n)$, равного $-18,2$, если $a_1 = 1,8$, а разность $d = -4$?

Для нахождения номера члена арифметической прогрессии ($a_n$) используется формула n-го члена:

$a_n = a_1 + (n-1)d$

где $a_n$ — искомый член прогрессии, $a_1$ — первый член прогрессии, $d$ — разность прогрессии, а $n$ — номер искомого члена.

Из условия задачи нам известны следующие значения:

• $a_n = -18,2$
• $a_1 = 1,8$
• $d = -4$

Подставим эти значения в формулу, чтобы найти $n$:

$-18,2 = 1,8 + (n-1) \cdot (-4)$

Перенесем $1,8$ в левую часть уравнения, изменив знак:

$-18,2 - 1,8 = (n-1) \cdot (-4)$

$-20 = (n-1) \cdot (-4)$

Чтобы найти $(n-1)$, разделим обе части уравнения на $-4$:

$n-1 = \frac{-20}{-4}$

$n-1 = 5$

Теперь найдем $n$, перенеся $-1$ в правую часть уравнения:

$n = 5 + 1$

$n = 6$

Следовательно, номер члена арифметической прогрессии, равного $-18,2$, равен 6.

Ответ: 6