Номер 11, страница 136, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

11. При каком значении $x$ значения выражений $x - 3$, $3x + 1$ и $x + 7$ являются последовательными членами арифметической прогрессии?

По определению арифметической прогрессии, разность между любым ее членом, начиная со второго, и предыдущим членом постоянна. Эта разность называется разностью прогрессии ($d$).

Для трех последовательных членов арифметической прогрессии $a_1$, $a_2$ и $a_3$ выполняется равенство: $a_2 - a_1 = a_3 - a_2$.

Это равенство также можно записать в виде $2a_2 = a_1 + a_3$, что означает, что средний член равен среднему арифметическому двух соседних.

В данном случае членами прогрессии являются выражения:

$a_1 = x - 3$

$a_2 = 3x + 1$

$a_3 = x + 7$

Подставим эти выражения в формулу $2a_2 = a_1 + a_3$ и решим полученное уравнение относительно $x$:

$2(3x + 1) = (x - 3) + (x + 7)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$6x + 2 = x - 3 + x + 7$

Приведем подобные слагаемые в правой части:

$6x + 2 = 2x + 4$

Теперь перенесем слагаемые, содержащие $x$, в левую часть уравнения, а постоянные члены — в правую:

$6x - 2x = 4 - 2$

$4x = 2$

Найдем $x$:

$x = \frac{2}{4} = 0.5$

Для проверки подставим найденное значение $x = 0.5$ в исходные выражения, чтобы найти члены прогрессии:

Первый член: $a_1 = 0.5 - 3 = -2.5$

Второй член: $a_2 = 3 \cdot 0.5 + 1 = 1.5 + 1 = 2.5$

Третий член: $a_3 = 0.5 + 7 = 7.5$

Мы получили последовательность: $-2.5; 2.5; 7.5$.

Найдем разность прогрессии:

$d = a_2 - a_1 = 2.5 - (-2.5) = 5$

$d = a_3 - a_2 = 7.5 - 2.5 = 5$

Так как разности равны, значение $x = 0.5$ найдено верно.

Ответ: $0.5$.