Номер 12, страница 136, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

12. При каком значении $x$ значения выражений $x - 14$, $4x$ и $2x$ являются последовательными членами геометрической прогрессии?

Для того, чтобы три выражения $x - 14$, $4x$ и $2x$ являлись последовательными членами геометрической прогрессии, должно выполняться характеристическое свойство геометрической прогрессии. Оно гласит, что квадрат среднего члена равен произведению двух крайних.

Обозначим члены прогрессии:

$b_1 = x - 14$

$b_2 = 4x$

$b_3 = 2x$

Согласно свойству, должно выполняться равенство:

$b_2^2 = b_1 \cdot b_3$

Подставим данные выражения в эту формулу:

$(4x)^2 = (x - 14) \cdot 2x$

Решим полученное уравнение:

$16x^2 = 2x^2 - 28x$

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

$16x^2 - 2x^2 + 28x = 0$

$14x^2 + 28x = 0$

Вынесем общий множитель $14x$ за скобки:

$14x(x + 2) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных значения для $x$:

$14x = 0 \implies x_1 = 0$

$x + 2 = 0 \implies x_2 = -2$

Теперь необходимо выполнить проверку для каждого из найденных корней, так как знаменатель геометрической прогрессии $q$ не может быть неопределенным.

Проверка для $x = 0$:

Найдем члены прогрессии:

$b_1 = 0 - 14 = -14$

$b_2 = 4 \cdot 0 = 0$

$b_3 = 2 \cdot 0 = 0$

Получилась последовательность: -14, 0, 0. По определению, знаменатель геометрической прогрессии $q = \frac{b_{n+1}}{b_n}$. Для нашей последовательности $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{0}{-14} = 0$. Однако, отношение следующих членов $\frac{b_3}{b_2} = \frac{0}{0}$ не определено. Следовательно, при $x=0$ последовательность не является геометрической прогрессией в строгом смысле, так как у нее нет единого определенного знаменателя. Поэтому $x=0$ не является решением.

Проверка для $x = -2$:

Найдем члены прогрессии:

$b_1 = -2 - 14 = -16$

$b_2 = 4 \cdot (-2) = -8$

$b_3 = 2 \cdot (-2) = -4$

Получилась последовательность: -16, -8, -4. Найдем ее знаменатель:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-8}{-16} = \frac{1}{2}$

$q = \frac{b_3}{b_2} = \frac{-4}{-8} = \frac{1}{2}$

Знаменатель прогрессии постоянен и равен $\frac{1}{2}$. Следовательно, при $x=-2$ данные выражения являются последовательными членами геометрической прогрессии.

Ответ: $x = -2$