Номер 6, страница 135, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

6. Первый член бесконечной геометрической прогрессии равен $ \frac{3}{4} $, а её знаменатель равен $ -\frac{1}{2} $. Каждому началу предложения, записанному в левом столбце, поставьте в соответствие окончание предложения, записанное в правом столбце, так, чтобы образовалось верное утверждение.

Начало предложения

А) Третий член прогрессии равен

Б) Сумма трёх первых членов прогрессии равна

В) Сумма прогрессии равна

Окончание предложения

1) $ \frac{3}{16} $

2) $ \frac{1}{2} $

3) $ \frac{9}{16} $

4) $ \frac{27}{16} $

5) $ \frac{3}{2} $

Дана бесконечная геометрическая прогрессия с первым членом $b_1 = \frac{3}{4}$ и знаменателем $q = -\frac{1}{2}$.

А) Третий член прогрессии равен

Для нахождения n-го члена геометрической прогрессии используется формула $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.
Чтобы найти третий член прогрессии ($n=3$), подставим известные значения в формулу:
$b_3 = b_1 \cdot q^{3-1} = b_1 \cdot q^2$
$b_3 = \frac{3}{4} \cdot (-\frac{1}{2})^2 = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{16}$.
Это значение соответствует варианту 1) в правом столбце.
Ответ: $\frac{3}{16}$

Б) Сумма трёх первых членов прогрессии равна

Сумму первых n членов геометрической прогрессии можно найти по формуле $S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$.
Для $n=3$ имеем:
$S_3 = \frac{\frac{3}{4}(1-(-\frac{1}{2})^3)}{1-(-\frac{1}{2})} = \frac{\frac{3}{4}(1-(-\frac{1}{8}))}{1+\frac{1}{2}} = \frac{\frac{3}{4}(1+\frac{1}{8})}{\frac{3}{2}} = \frac{\frac{3}{4} \cdot \frac{9}{8}}{\frac{3}{2}} = \frac{\frac{27}{32}}{\frac{3}{2}} = \frac{27}{32} \cdot \frac{2}{3} = \frac{9}{16}$.
Альтернативно, можно найти первые три члена и сложить их:
$b_1 = \frac{3}{4}$
$b_2 = b_1 \cdot q = \frac{3}{4} \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{3}{8}$
$b_3 = b_2 \cdot q = -\frac{3}{8} \cdot (-\frac{1}{2}) = \frac{3}{16}$
$S_3 = b_1 + b_2 + b_3 = \frac{3}{4} - \frac{3}{8} + \frac{3}{16} = \frac{12}{16} - \frac{6}{16} + \frac{3}{16} = \frac{12-6+3}{16} = \frac{9}{16}$.
Это значение соответствует варианту 3) в правом столбце.
Ответ: $\frac{9}{16}$

В) Сумма прогрессии равна

Так как модуль знаменателя прогрессии $|q| = |-\frac{1}{2}| = \frac{1}{2} < 1$, данная прогрессия является бесконечно убывающей. Её сумма находится по формуле $S = \frac{b_1}{1-q}$.
Подставим известные значения:
$S = \frac{\frac{3}{4}}{1-(-\frac{1}{2})} = \frac{\frac{3}{4}}{1+\frac{1}{2}} = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{3}{2}} = \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{2}$.
Это значение соответствует варианту 2) в правом столбце.
Ответ: $\frac{1}{2}$