Номер 10, страница 126, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

10. Решите систему уравнений

$$\begin{cases} x - 5y = 1, \\ xy + 4y = 10. \end{cases}$$

Для решения данной системы уравнений воспользуемся методом подстановки.

Исходная система:

$\begin{cases} x - 5y = 1, \\ xy + 4y = 10. \end{cases}$

Из первого уравнения выразим переменную $x$ через $y$:

$x = 1 + 5y$

Подставим полученное выражение для $x$ во второе уравнение системы:

$(1 + 5y)y + 4y = 10$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение относительно $y$:

$y + 5y^2 + 4y = 10$

Приведем подобные слагаемые:

$5y^2 + 5y - 10 = 0$

Разделим все члены уравнения на 5, чтобы упростить его:

$y^2 + y - 2 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения. Можно воспользоваться теоремой Виета: произведение корней $y_1 \cdot y_2 = -2$, а их сумма $y_1 + y_2 = -1$. Этим условиям удовлетворяют числа $y_1 = -2$ и $y_2 = 1$.

Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого найденного значения $y$, используя формулу $x = 1 + 5y$.

При $y_1 = -2$:

$x_1 = 1 + 5(-2) = 1 - 10 = -9$

Первая пара решений: $(-9, -2)$.

При $y_2 = 1$:

$x_2 = 1 + 5(1) = 1 + 5 = 6$

Вторая пара решений: $(6, 1)$.

Выполним проверку, подставив найденные пары в исходную систему уравнений.

Для пары $(-9, -2)$:

$x - 5y = -9 - 5(-2) = -9 + 10 = 1$ (верно).

$xy + 4y = (-9)(-2) + 4(-2) = 18 - 8 = 10$ (верно).

Для пары $(6, 1)$:

$x - 5y = 6 - 5(1) = 6 - 5 = 1$ (верно).

$xy + 4y = 6(1) + 4(1) = 6 + 4 = 10$ (верно).

Обе пары чисел являются решениями системы.

Ответ: $(-9; -2), (6; 1)$.