Номер 11, страница 126, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

11. Найдите координаты точек пересечения графиков уравнений $x^2 + y^2 = 29$ и $y = 3 - x$.

Для нахождения координат точек пересечения графиков необходимо решить систему уравнений, состоящую из уравнений этих графиков:

$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 29 \\ y = 3 - x \end{cases} $

Воспользуемся методом подстановки. Подставим выражение для $y$ из второго уравнения в первое:

$x^2 + (3 - x)^2 = 29$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$x^2 + (3^2 - 2 \cdot 3 \cdot x + x^2) = 29$

$x^2 + 9 - 6x + x^2 = 29$

Приведём подобные слагаемые и перенесём все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$:

$2x^2 - 6x + 9 - 29 = 0$

$2x^2 - 6x - 20 = 0$

Для удобства решения разделим обе части уравнения на 2:

$x^2 - 3x - 10 = 0$

Теперь решим полученное квадратное уравнение. Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49$

Так как дискриминант больше нуля ($D > 0$), уравнение имеет два различных корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 7}{2} = \frac{10}{2} = 5$

$x_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 7}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Мы нашли абсциссы точек пересечения. Теперь найдем соответствующие ординаты, подставив найденные значения $x$ в уравнение $y = 3 - x$.

Если $x_1 = 5$, то $y_1 = 3 - 5 = -2$.

Если $x_2 = -2$, то $y_2 = 3 - (-2) = 3 + 2 = 5$.

Таким образом, графики пересекаются в двух точках с координатами $(5; -2)$ и $(-2; 5)$.

Ответ: $(5; -2), (-2; 5)$.