Номер 3, страница 123, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

3. При каком значении a неравенство $x^2 - 8x + a \le 0$ имеет единственное решение?

1) $a = 4$ 2) $a = -4$ 3) $a = 16$ 4) $a = -16$

Рассмотрим неравенство $x^2 - 8x + a \le 0$. Левая часть этого неравенства представляет собой квадратичную функцию $y = x^2 - 8x + a$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх, поскольку коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительное число).

Неравенство будет иметь единственное решение только в том случае, когда парабола касается оси абсцисс (оси Ox) в одной точке, то есть в своей вершине. В этой точке значение функции будет равно нулю ($y=0$), а во всех остальных точках — строго больше нуля ($y>0$).

Условием касания параболы оси Ox является равенство нулю дискриминанта ($D$) соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 8x + a = 0$.

Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$. В данном уравнении коэффициенты равны: $a=1$ (коэффициент при $x^2$), $b=-8$, $c=a$ (свободный член).

Подставим значения в формулу: $D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot a = 64 - 4a$

Приравняем дискриминант к нулю и решим уравнение относительно $a$: $64 - 4a = 0$

$4a = 64$

$a = \frac{64}{4}$

$a = 16$

Проверим: при $a=16$ неравенство принимает вид $x^2 - 8x + 16 \le 0$. Левую часть можно свернуть по формуле квадрата разности: $(x - 4)^2 \le 0$. Так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, данное неравенство выполняется только в случае равенства: $(x - 4)^2 = 0$, откуда $x = 4$. Таким образом, при $a=16$ неравенство имеет единственное решение. Это значение соответствует варианту ответа под номером 3.

Ответ: 16