Номер 1, страница 123, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Укажите неравенство, множество решений которого изображено на рисунке 45.

1) $x^2 - 16 \ge 0$

2) $x^2 - 16 \le 0$

3) $x^2 - 4x \ge 0$

4) $x^2 - 4x \le 0$

Рис. 45

На рисунке 45 изображено множество решений, которое представляет собой объединение двух числовых промежутков: от минус бесконечности до 0 включительно и от 4 включительно до плюс бесконечности. В виде неравенств это можно записать как $x \le 0$ или $x \ge 4$. Чтобы найти соответствующее неравенство, решим каждое из предложенных.

1) $x^2 - 16 \ge 0$

Рассмотрим соответствующее уравнение $x^2 - 16 = 0$.
Разложим на множители: $(x - 4)(x + 4) = 0$.
Корни уравнения: $x_1 = -4$, $x_2 = 4$.
Это квадратное неравенство, графиком функции $y = x^2 - 16$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Неравенство $y \ge 0$ выполняется на промежутках, где график параболы находится выше или на оси абсцисс, то есть вне интервала между корнями.
Решением является объединение промежутков $(-\infty; -4] \cup [4; \infty)$. Это множество не совпадает с изображенным на рисунке.
Ответ: $x \in (-\infty; -4] \cup [4; \infty)$.

2) $x^2 - 16 \le 0$

Корни уравнения $x^2 - 16 = 0$ те же: $x_1 = -4$, $x_2 = 4$.
Ветви параболы $y = x^2 - 16$ направлены вверх, поэтому неравенство $y \le 0$ выполняется на промежутке между корнями, включая сами корни.
Решением является промежуток $[-4; 4]$. Это множество не совпадает с изображенным на рисунке.
Ответ: $x \in [-4; 4]$.

3) $x^2 - 4x \ge 0$

Рассмотрим соответствующее уравнение $x^2 - 4x = 0$.
Вынесем общий множитель $x$ за скобки: $x(x - 4) = 0$.
Корни уравнения: $x_1 = 0$, $x_2 = 4$.
Графиком функции $y = x^2 - 4x$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Неравенство $y \ge 0$ выполняется на промежутках вне интервала между корнями.
Решением является объединение промежутков $(-\infty; 0] \cup [4; \infty)$. Это множество в точности совпадает с изображенным на рисунке 45.
Ответ: $x \in (-\infty; 0] \cup [4; \infty)$.

4) $x^2 - 4x \le 0$

Корни уравнения $x^2 - 4x = 0$ те же: $x_1 = 0$, $x_2 = 4$.
Ветви параболы $y = x^2 - 4x$ направлены вверх, поэтому неравенство $y \le 0$ выполняется на промежутке между корнями.
Решением является промежуток $[0; 4]$. Это множество не совпадает с изображенным на рисунке.
Ответ: $x \in [0; 4]$.

Таким образом, множество решений, изображенное на рисунке, соответствует неравенству $x^2 - 4x \ge 0$.

Ответ: 3