Номер 2, страница 123, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

2. Укажите неравенство, не имеющее решений.

1) $x^2 + 5x - 8 > 0$

2) $x^2 - 5x + 8 < 0$

3) $x^2 - 5x - 8 < 0$

4) $x^2 - 5x + 8 > 0$

Для того чтобы определить, какое из неравенств не имеет решений, необходимо проанализировать каждое из них. Решение квадратного неравенства вида $ax^2 + bx + c \lessgtr 0$ зависит от знака старшего коэффициента $a$ и знака дискриминанта $D = b^2 - 4ac$ соответствующего квадратного уравнения.

Во всех предложенных неравенствах старший коэффициент $a=1$, что больше нуля ($a>0$). Это означает, что графиком квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$ является парабола, ветви которой направлены вверх.

1) $x^2 + 5x - 8 > 0$

Найдем дискриминант для квадратного трехчлена $x^2 + 5x - 8$:

$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 25 + 32 = 57$.

Поскольку $D > 0$, соответствующее квадратное уравнение имеет два различных действительных корня. Это значит, что парабола $y = x^2 + 5x - 8$ пересекает ось Ox в двух точках. Так как ветви параболы направлены вверх, значения функции будут положительными на промежутках левее меньшего корня и правее большего корня. Следовательно, данное неравенство имеет решения.

2) $x^2 - 5x + 8 < 0$

Найдем дискриминант для квадратного трехчлена $x^2 - 5x + 8$:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 25 - 32 = -7$.

Поскольку $D < 0$, соответствующее квадратное уравнение не имеет действительных корней. Это значит, что парабола $y = x^2 - 5x + 8$ не пересекает ось Ox. Так как ветви параболы направлены вверх, вся парабола расположена выше оси Ox, и, следовательно, значения функции $y = x^2 - 5x + 8$ всегда положительны при любом значении $x$. Неравенство $x^2 - 5x + 8 < 0$ требует, чтобы всегда положительное выражение было меньше нуля, что невозможно. Следовательно, данное неравенство не имеет решений.

3) $x^2 - 5x - 8 < 0$

Найдем дискриминант для квадратного трехчлена $x^2 - 5x - 8$:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 25 + 32 = 57$.

Поскольку $D > 0$, соответствующее квадратное уравнение имеет два различных действительных корня. Парабола $y = x^2 - 5x - 8$ пересекает ось Ox в двух точках. Так как ветви параболы направлены вверх, значения функции будут отрицательными на промежутке между корнями. Следовательно, данное неравенство имеет решения.

4) $x^2 - 5x + 8 > 0$

Для этого неравенства используется тот же квадратный трехчлен, что и в пункте 2. Мы уже выяснили, что его дискриминант $D = -7 < 0$.

Поскольку $D < 0$ и ветви параболы направлены вверх, выражение $x^2 - 5x + 8$ всегда положительно для любого действительного значения $x$. Неравенство $x^2 - 5x + 8 > 0$ выполняется при всех $x$. Следовательно, данное неравенство имеет решения (решением является множество всех действительных чисел).

Проанализировав все варианты, мы установили, что единственное неравенство, которое не имеет решений, это $x^2 - 5x + 8 < 0$.

Ответ: 2.