Номер 1, страница 109, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Областью определения какой из данных функций является промежуток $(8; +\infty)$?

1) $y = \sqrt{x+8}$

2) $y = \frac{1}{\sqrt{x+8}}$

3) $y = \sqrt{x-8}$

4) $y = \frac{1}{\sqrt{x-8}}$

Чтобы найти область определения функции, необходимо найти все значения переменной $x$, при которых выражение, задающее функцию, имеет смысл. Проанализируем каждую из предложенных функций.

1) $y = \sqrt{x+8}$
Область определения этой функции задается условием, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным (больше или равно нулю).
$x + 8 \geq 0$
$x \geq -8$
Следовательно, область определения — это промежуток $[-8; +\infty)$. Этот промежуток не соответствует заданному в условии.
Ответ: $[-8; +\infty)$.

2) $y = \frac{1}{\sqrt{x+8}}$
В этом случае подкоренное выражение находится в знаменателе. Знаменатель не может быть равен нулю, а подкоренное выражение не может быть отрицательным. Объединяя эти два условия, получаем, что подкоренное выражение должно быть строго положительным (больше нуля).
$x + 8 > 0$
$x > -8$
Область определения — это промежуток $(-8; +\infty)$. Этот промежуток не соответствует заданному в условии.
Ответ: $(-8; +\infty)$.

3) $y = \sqrt{x-8}$
Подкоренное выражение должно быть неотрицательным.
$x - 8 \geq 0$
$x \geq 8$
Область определения — это промежуток $[8; +\infty)$. Этот промежуток включает число 8, в то время как в заданном промежутке $(8; +\infty)$ число 8 не включено (строгое неравенство).
Ответ: $[8; +\infty)$.

4) $y = \frac{1}{\sqrt{x-8}}$
Подкоренное выражение находится в знаменателе, поэтому оно должно быть строго положительным.
$x - 8 > 0$
$x > 8$
Область определения — это промежуток $(8; +\infty)$. Этот промежуток полностью совпадает с указанным в условии задачи.
Ответ: $(8; +\infty)$.

Таким образом, функцией, область определения которой является промежуток $(8; +\infty)$, является функция под номером 4.