Страница 81 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Какая из данных последовательностей является арифметической прогрессией?

1) 7, 10, 13, 15

2) 18, 16, 14, 12

3) -9, -4, 1, 4

4) 2, 6, 18, 54

Арифметическая прогрессия — это числовая последовательность, в которой каждый следующий член, начиная со второго, получается прибавлением к предыдущему члену одного и того же числа, называемого разностью прогрессии ($d$). Чтобы определить, является ли последовательность арифметической прогрессией, необходимо проверить, является ли разность между соседними членами постоянной величиной.

Проверим каждую из предложенных последовательностей:

1) 7, 10, 13, 15

Вычислим разности между соседними членами:
$a_2 - a_1 = 10 - 7 = 3$
$a_3 - a_2 = 13 - 10 = 3$
$a_4 - a_3 = 15 - 13 = 2$
Так как разности не равны ($3 \neq 2$), эта последовательность не является арифметической прогрессией.

2) 18, 16, 14, 12

Вычислим разности между соседними членами:
$a_2 - a_1 = 16 - 18 = -2$
$a_3 - a_2 = 14 - 16 = -2$
$a_4 - a_3 = 12 - 14 = -2$
Так как все разности равны $-2$, эта последовательность является арифметической прогрессией.

3) -9, -4, 1, 4

Вычислим разности между соседними членами:
$a_2 - a_1 = -4 - (-9) = -4 + 9 = 5$
$a_3 - a_2 = 1 - (-4) = 1 + 4 = 5$
$a_4 - a_3 = 4 - 1 = 3$
Так как разности не равны ($5 \neq 3$), эта последовательность не является арифметической прогрессией.

4) 2, 6, 18, 54

Вычислим разности между соседними членами:
$a_2 - a_1 = 6 - 2 = 4$
$a_3 - a_2 = 18 - 6 = 12$
Так как разности не равны ($4 \neq 12$), эта последовательность не является арифметической прогрессией.

Таким образом, единственная последовательность, которая является арифметической прогрессией, — это последовательность под номером 2.

Ответ: 2

2. Чему равна разность арифметической прогрессии $(a_n)$, если $a_1 = 8$, $a_2 = 4$?

1) 2

2) 4

3) -4

4) 12

Разность арифметической прогрессии (обозначается как $d$) — это число, которое нужно прибавить к предыдущему члену прогрессии, чтобы получить следующий. Для нахождения разности нужно из любого члена прогрессии, начиная со второго, вычесть предыдущий.

Формула для нахождения разности арифметической прогрессии:
$d = a_{n+1} - a_n$

В условии задачи даны первый и второй члены прогрессии: $a_1 = 8$ и $a_2 = 4$.

Подставим известные значения в формулу, чтобы найти разность $d$:
$d = a_2 - a_1 = 4 - 8 = -4$

Таким образом, разность данной арифметической прогрессии равна -4.

Ответ: -4

3. Выписано несколько последовательных членов арифметической прогрессии: ..., $9$, $x$, $21$, $27$, ... . Найдите значение $x$.

В арифметической прогрессии разность между любыми двумя последовательными членами постоянна. Эта разность называется разностью прогрессии и обозначается буквой $d$.

В заданной последовательности нам известны два идущих подряд члена: 21 и 27. Мы можем использовать их, чтобы найти разность прогрессии:

$d = 27 - 21 = 6$

Теперь, зная разность $d$, мы можем найти значение $x$. Члены 9, $x$ и 21 также являются последовательными. Это означает, что $x$ получается прибавлением разности $d$ к предыдущему члену, равному 9.

$x = 9 + d = 9 + 6 = 15$

Для проверки можно убедиться, что следующий за $x$ член действительно равен 21:

$x + d = 15 + 6 = 21$

Это совпадает с данными в условии.

Другой способ решения — использовать характеристическое свойство арифметической прогрессии: каждый член прогрессии (кроме первого) равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов. Для тройки $9, x, 21$ это свойство записывается так:

$x = \frac{9 + 21}{2} = \frac{30}{2} = 15$

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: 15

4. Дана арифметическая прогрессия: 37, 34, 31, . . . . Найдите первый отрицательный член этой прогрессии.

Данная последовательность чисел 37, 34, 31, ... является арифметической прогрессией. Найдем её основные параметры.

Первый член прогрессии $a_1 = 37$.

Разность арифметической прогрессии $d$ — это постоянное число, на которое каждый следующий член отличается от предыдущего. Вычислим её: $d = a_2 - a_1 = 34 - 37 = -3$.

Формула n-го члена арифметической прогрессии имеет вид: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Подставим в эту формулу известные нам значения $a_1 = 37$ и $d = -3$, чтобы получить формулу для n-го члена данной прогрессии: $a_n = 37 + (n-1)(-3)$ $a_n = 37 - 3n + 3$ $a_n = 40 - 3n$

Нам нужно найти первый отрицательный член этой прогрессии. Это означает, что мы ищем наименьший номер члена $n$, для которого выполняется условие $a_n < 0$. Составим и решим неравенство: $40 - 3n < 0$

Перенесем $3n$ в правую часть неравенства: $40 < 3n$

Теперь разделим обе части на 3: $n > \frac{40}{3}$ $n > 13\frac{1}{3}$

Поскольку номер члена прогрессии $n$ должен быть целым числом, наименьшее целое число, которое больше $13\frac{1}{3}$, это $n=14$. Следовательно, 14-й член будет первым отрицательным членом прогрессии.

Найдем значение этого члена, подставив $n = 14$ в выведенную нами формулу $a_n = 40 - 3n$: $a_{14} = 40 - 3 \times 14 = 40 - 42 = -2$.

Для проверки можно убедиться, что 13-й член еще положителен: $a_{13} = 40 - 3 \times 13 = 40 - 39 = 1$. Так как $a_{13} = 1$ (положительный), а $a_{14} = -2$ (отрицательный), то -2 и есть первый отрицательный член прогрессии.

Ответ: -2

5. Найдите первый член арифметической прогрессии $(a_n)$, если $a_6 = 4$, $a_9 = 8,5$.

Для нахождения первого члена арифметической прогрессии ($a_n$) воспользуемся формулой n-го члена: $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ — первый член, а $d$ — разность прогрессии.

По условию нам даны два члена прогрессии: $a_6 = 4$ и $a_9 = 8,5$.

Сначала найдем разность прогрессии $d$. Разность между любыми двумя членами арифметической прогрессии $a_n$ и $a_m$ можно выразить как $a_n - a_m = (n-m)d$.
Подставим наши значения:
$a_9 - a_6 = (9-6)d$
$8,5 - 4 = 3d$
$4,5 = 3d$
$d = \frac{4,5}{3}$
$d = 1,5$

Теперь, зная разность $d$, мы можем найти первый член $a_1$. Воспользуемся формулой для шестого члена прогрессии:
$a_6 = a_1 + (6-1)d$
Подставим известные значения $a_6 = 4$ и $d = 1,5$:
$4 = a_1 + 5 \cdot 1,5$
$4 = a_1 + 7,5$
$a_1 = 4 - 7,5$
$a_1 = -3,5$

Ответ: -3,5