Страница 75 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Укажите медиану выборки 8, 7, 1, 3, 3, 2, 5, 5, 4, 6.

1) 3

2) 2,5

3) 4,5

4) 5

Для того чтобы найти медиану числовой выборки, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Упорядочить все элементы выборки по возрастанию (создать вариационный ряд).
2. Определить количество элементов в выборке.
3. Найти значение, которое находится в середине упорядоченного ряда.

1.

Исходная выборка: 8, 7, 1, 3, 3, 2, 5, 5, 4, 6.

Сначала упорядочим элементы выборки по возрастанию:
1, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 6, 7, 8.

Количество элементов в выборке $n=10$.

Поскольку количество элементов в выборке четное, медиана равна среднему арифметическому двух элементов, находящихся в середине упорядоченного ряда. Эти элементы стоят на позициях $n/2$ и $n/2 + 1$.

В данном случае это элементы на позициях $10/2 = 5$ и $10/2 + 1 = 6$.

Пятый элемент ряда — это 4, а шестой — это 5.

Найдем их среднее арифметическое, чтобы вычислить медиану ($Me$):
$Me = \frac{4 + 5}{2} = \frac{9}{2} = 4,5$.

Таким образом, медиана данной выборки равна 4,5.

Ответ: 4,5

2. Укажите моду выборки 8, 7, 1, 3, 3, 3, 2, 5, 5, 4, 6.

1) 3

2) 5

3) 3 и 5

4) 7 и 8

Мода статистической выборки — это значение, которое встречается в данной выборке наиболее часто. Чтобы найти моду, необходимо определить частоту появления каждого элемента в наборе данных.

Данная выборка состоит из следующих чисел: 8, 7, 1, 3, 3, 2, 5, 5, 4, 6.

Подсчитаем, сколько раз встречается каждое число:

число 1 встречается 1 раз;
число 2 встречается 1 раз;
число 3 встречается 2 раза;
число 4 встречается 1 раз;
число 5 встречается 2 раза;
число 6 встречается 1 раз;
число 7 встречается 1 раз;
число 8 встречается 1 раз.

Наибольшая частота повторения равна 2. Эту частоту имеют два числа: 3 и 5. Если в выборке два значения встречаются с одинаковой наибольшей частотой, то у выборки две моды.

Следовательно, модами данной выборки являются числа 3 и 5.

Ответ: 3) 3 и 5

3. В таблице приведены данные о количестве посетителей музея в течение недели (во вторник музей не работает).

Пользуясь данной таблицей, найдите:

1) размах данной выборки;

2) среднее значение выборки;

3) медиану выборки.

Данные о количестве посетителей за 6 рабочих дней недели представляют собой следующую выборку: 240, 180, 320, 430, 660, 510.

1) размах данной выборки;

Размах выборки — это разность между наибольшим и наименьшим значениями в этой выборке.

Находим наибольшее ($x_{max}$) и наименьшее ($x_{min}$) значения в данном ряду чисел:

$x_{max} = 660$ (суббота)

$x_{min} = 180$ (среда)

Вычисляем размах:

Размах = $x_{max} - x_{min} = 660 - 180 = 480$.

Ответ: 480

2) среднее значение выборки;

Среднее значение (или среднее арифметическое) выборки — это сумма всех её значений, делённая на их количество.

Сначала находим сумму всех значений:

$240 + 180 + 320 + 430 + 660 + 510 = 2340$

Количество значений в выборке — 6.

Теперь вычисляем среднее значение:

Среднее значение = $\frac{2340}{6} = 390$.

Ответ: 390

3) медиану выборки.

Медиана — это число, которое находится в середине упорядоченного по возрастанию или убыванию набора чисел.

Сначала упорядочим нашу выборку по возрастанию:

180, 240, 320, 430, 510, 660

Поскольку количество элементов в выборке чётное (6 элементов), медиана равна среднему арифметическому двух центральных элементов.

Центральными элементами являются третий (320) и четвертый (430) в упорядоченном ряду.

Вычисляем медиану:

Медиана = $\frac{320 + 430}{2} = \frac{750}{2} = 375$.

Ответ: 375

4. Среди учащихся 9 класса провели опрос: сколько времени они проводят ежедневно за компьютером. Результаты опроса представлены в виде диаграммы, изображённой на рисунке 25. Найдите:

1) моду выборки;

2) среднее значение выборки.

Рис. 25

Количество учащихся

Время, проведённое за компьютером

30 мин: 3

40 мин: 6

50 мин: 7

60 мин: 6

70 мин: 4

90 мин: 4

Для решения задачи сначала определим данные, представленные на гистограмме. По оси X отложено время, проведенное за компьютером, а по оси Y — количество учащихся, соответствующее этому времени.

• 30 мин: 3 учащихся
• 40 мин: 6 учащихся
• 50 мин: 7 учащихся
• 60 мин: 6 учащихся
• 70 мин: 4 учащихся
• 90 мин: 4 учащихся

1) моду выборки;

Мода — это значение в выборке, которое встречается наиболее часто. В данном случае нам нужно найти время, которое проводит за компьютером наибольшее число учащихся.
Из данных, полученных с диаграммы, видно, что наибольшее количество учащихся, а именно 7, проводят за компьютером 50 минут.
Следовательно, мода данной выборки составляет 50 минут.
Ответ: 50 мин.

2) среднее значение выборки.

Среднее значение выборки — это среднее арифметическое всех значений. Чтобы его найти, нужно общее время, проведенное всеми опрошенными учащимися за компьютером, разделить на общее количество учащихся.

Сначала найдем общее количество опрошенных учащихся:
$N = 3 + 6 + 7 + 6 + 4 + 4 = 30$ учащихся.

Затем вычислим суммарное время, проведенное всеми учащимися за компьютером. Для этого умножим каждое значение времени на соответствующее ему количество учащихся и сложим полученные результаты:
$S = (30 \cdot 3) + (40 \cdot 6) + (50 \cdot 7) + (60 \cdot 6) + (70 \cdot 4) + (90 \cdot 4)$
$S = 90 + 240 + 350 + 360 + 280 + 360 = 1680$ минут.

Теперь найдем среднее значение, разделив суммарное время на общее количество учащихся:
$\text{Среднее значение} = \frac{S}{N} = \frac{1680}{30} = 56$ минут.
Ответ: 56 мин.