Страница 74 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Укажите медиану выборки 6, 7, 7, 10, 12, 13, 17.

1) 7

2) 10

3) 12

4) 17

1.

Медианой упорядоченного ряда чисел называется число, которое находится в середине этого набора, если количество чисел в наборе нечётно. Если количество чисел чётно, то медианой является среднее арифметическое двух чисел, находящихся в середине.

Для нахождения медианы выполним следующие шаги:

1. Упорядочим элементы выборки по возрастанию.
Заданная выборка: 6, 7, 7, 10, 12, 13, 17.
Этот ряд чисел уже упорядочен.

2. Посчитаем количество элементов в выборке.
В ряду 7 элементов. Обозначим это количество как $n$, то есть $n=7$.

3. Найдем центральный элемент.
Так как количество элементов ($n=7$) нечетное, медиана будет равна значению элемента, стоящего ровно посередине. Номер этого элемента в упорядоченном ряду можно найти по формуле $ (n + 1) / 2 $.
Номер медианного элемента: $ (7 + 1) / 2 = 8 / 2 = 4 $.
Следовательно, медианой является четвертый элемент ряда.

4. Определим значение медианы.
Выпишем ряд и найдем четвертый по счету элемент:
6, 7, 7, 10, 12, 13, 17.
Четвертый элемент — это число 10.

Таким образом, медиана данной выборки равна 10. Среди предложенных вариантов ответа (1) 7, 2) 10, 3) 12, 4) 17) верным является второй.

Ответ: 10

2. Укажите моду выборки $6, 7, 7, 10, 12, 13, 17$.

1) $7$

2) $10$

3) $12$

4) $17$

Мода — это значение в наборе данных, которое встречается наиболее часто. Для того чтобы найти моду, необходимо проанализировать заданную выборку и определить, какое число в ней повторяется чаще других.

Дана выборка: 6, 7, 7, 10, 12, 13, 17.

Подсчитаем частоту появления каждого числа в выборке: число 6 встречается 1 раз, число 7 встречается 2 раза, число 10 — 1 раз, число 12 — 1 раз, число 13 — 1 раз, число 17 — 1 раз.

Наибольшая частота у числа 7, оно встречается дважды, в то время как все остальные числа — только по одному разу. Следовательно, модой данной выборки является 7.

Ответ: 7

3. В таблице приведены данные об объёме продаж тортов кондитерским магазином в течение 6 дней.

День недели | Количество проданных тортов

Вторник | 20

Среда | 26

Четверг | 25

Пятница | 28

Суббота | 60

Воскресенье | 45

Пользуясь данной таблицей, найдите:

1) размах данной выборки;

2) среднее значение выборки;

3) медиану выборки.

1) размах данной выборки

Размах выборки – это разность между наибольшим и наименьшим значениями в этой выборке. Данные о количестве проданных тортов: 20, 26, 25, 28, 60, 45.

Наибольшее значение в выборке ($max$): 60.

Наименьшее значение в выборке ($min$): 20.

Вычислим размах:

$Размах = max - min = 60 - 20 = 40$.

Ответ: 40.

2) среднее значение выборки

Среднее значение (среднее арифметическое) выборки – это сумма всех ее значений, деленная на их количество. Сначала найдем сумму всех проданных тортов за 6 дней:

$Сумма = 20 + 26 + 25 + 28 + 60 + 45 = 204$.

Количество дней (значений в выборке) равно 6.

Теперь вычислим среднее значение:

$Среднее\ значение = \frac{204}{6} = 34$.

Ответ: 34.

3) медиану выборки

Медиана – это значение, которое делит упорядоченную выборку на две равные по количеству части. Для нахождения медианы необходимо сначала упорядочить все значения выборки по возрастанию:

20, 25, 26, 28, 45, 60.

Так как количество значений в выборке ($n=6$) четное, медиана равна среднему арифметическому двух центральных значений. В данном случае это третье (26) и четвертое (28) значения.

Вычислим медиану:

$Медиана = \frac{26 + 28}{2} = \frac{54}{2} = 27$.

Ответ: 27.

4. Среди учащихся 9 класса провели опрос: сколько времени они тратят утром на дорогу от дома до школы. Результаты опроса представлены в виде диаграммы, изображённой на рисунке 24. Найдите:

1) моду выборки;

2) среднее значение выборки.

Рис. 24

Количество учащихся

9

7

5

3

1

5 мин (3 учащихся)

10 мин (3 учащихся)

15 мин (9 учащихся)

20 мин (6 учащихся)

30 мин (5 учащихся)

45 мин (3 учащихся)

Время, потраченное на дорогу

Для решения задачи сначала определим по диаграмме, сколько учащихся тратит на дорогу каждое указанное количество времени. Высота каждого столбца соответствует количеству учащихся.

• 5 минут тратят 3 учащихся.
• 10 минут тратят 3 учащихся.
• 15 минут тратят 10 учащихся.
• 20 минут тратят 6 учащихся.
• 30 минут тратят 5 учащихся.
• 45 минут тратят 3 учащихся.

Теперь можем ответить на вопросы.

1) моду выборки;

Мода — это значение в выборке, которое встречается наиболее часто. В данном случае это время, которое тратит на дорогу наибольшее количество учащихся.

Из диаграммы видно, что самый высокий столбец соответствует времени 15 минут. Это время на дорогу тратят 10 учащихся, что является наибольшей частотой в данной выборке. Следовательно, мода выборки равна 15 минутам.

Ответ: 15 мин.

2) среднее значение выборки.

Среднее значение выборки (или среднее арифметическое) находится как отношение суммы всех значений к их количеству. В данном случае, нужно найти общее время, потраченное всеми учащимися, и разделить его на общее количество учащихся.

Сначала найдем общее количество опрошенных учащихся:

$N = 3 + 3 + 10 + 6 + 5 + 3 = 30$ учащихся.

Затем найдем суммарное время, которое все учащиеся тратят на дорогу. Для этого умножим каждое значение времени на соответствующее количество учащихся и сложим результаты:

$\text{Суммарное время} = (5 \cdot 3) + (10 \cdot 3) + (15 \cdot 10) + (20 \cdot 6) + (30 \cdot 5) + (45 \cdot 3)$

$\text{Суммарное время} = 15 + 30 + 150 + 120 + 150 + 135 = 600$ минут.

Теперь вычислим среднее значение, разделив суммарное время на общее количество учащихся:

$\text{Среднее значение} = \frac{\text{Суммарное время}}{\text{Общее количество учащихся}} = \frac{600}{30} = 20$ минут.

Ответ: 20 мин.