Страница 78 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Последовательность $(a_n)$ задана формулой $n$-го члена $a_n = \frac{n^2-1}{2}$. Чему равен седьмой член последовательности?

1) 49 2) 24 3) 24,5 4) 6,5

1. Последовательность $(a_n)$ задана формулой n-го члена: $a_n = \frac{n^2 - 1}{2}$.
Чтобы найти седьмой член последовательности, необходимо в данную формулу подставить значение $n=7$.
$a_7 = \frac{7^2 - 1}{2}$
Теперь выполним вычисления:
$a_7 = \frac{49 - 1}{2} = \frac{48}{2} = 24$
Следовательно, седьмой член последовательности равен 24, что соответствует варианту ответа 2).
Ответ: 24

2. Чему равен третий член последовательности $ (b_n) $, если

$b_1=-3, b_{n+1}=2b_n+1?$

1) -15
2) -9
3) 7
4) 15

По условию, нам дана последовательность $(b_n)$, которая определяется следующими условиями:

1. Первый член последовательности: $b_1 = -3$.

2. Рекуррентная формула для всех последующих членов: $b_{n+1} = 2b_n + 1$.

Нам нужно найти третий член последовательности, то есть $b_3$.

Для того чтобы найти $b_3$, сначала необходимо вычислить второй член последовательности, $b_2$. Мы можем сделать это, подставив $n=1$ в рекуррентную формулу:

$b_{1+1} = 2b_1 + 1$

$b_2 = 2b_1 + 1$

Теперь подставим известное значение $b_1 = -3$:

$b_2 = 2 \cdot (-3) + 1 = -6 + 1 = -5$

Итак, второй член последовательности $b_2 = -5$.

Теперь мы можем найти третий член, $b_3$, подставив $n=2$ в ту же рекуррентную формулу:

$b_{2+1} = 2b_2 + 1$

$b_3 = 2b_2 + 1$

Подставим найденное значение $b_2 = -5$:

$b_3 = 2 \cdot (-5) + 1 = -10 + 1 = -9$

Таким образом, третий член последовательности равен -9.

Ответ: -9

3. Каждый член последовательности $(a_n)$ равен остатку от деления его номера на 4. Найдите:

1) $a_{10}$;

2) $a_{15}$;

3) $a_{24}$;

По условию задачи, каждый член последовательности $(a_n)$ равен остатку от деления его номера $n$ на 4. Это означает, что для нахождения любого члена $a_n$ нужно выполнить операцию деления с остатком $n$ на 4.

1) $a_{10}$;

Для нахождения $a_{10}$ разделим его номер 10 на 4 с остатком. $10 = 4 \cdot 2 + 2$. Частное равно 2, а остаток равен 2. Следовательно, $a_{10} = 2$.

Ответ: 2

2) $a_{15}$;

Для нахождения $a_{15}$ разделим его номер 15 на 4 с остатком. $15 = 4 \cdot 3 + 3$. Частное равно 3, а остаток равен 3. Следовательно, $a_{15} = 3$.

Ответ: 3

3) $a_{24}$;

Для нахождения $a_{24}$ разделим его номер 24 на 4 с остатком. $24 = 4 \cdot 6 + 0$. Число 24 делится на 4 без остатка, поэтому остаток равен 0. Следовательно, $a_{24} = 0$.

Ответ: 0

4. Последовательность $(c_n)$ задана формулой $n$-го члена

$c_n = n^2 - 5$. Является ли членом этой последовательности число:

1) 16;

2) 31?

В случае утвердительного ответа укажите номер этого члена.

Последовательность задана формулой n-го члена $c_n = n^2 - 5$. Чтобы определить, является ли некоторое число членом этой последовательности, нужно подставить это число вместо $c_n$ и решить полученное уравнение относительно $n$. Если решение для $n$ является натуральным числом (т.е. целым и положительным), то данное число является членом последовательности, а $n$ — его номером.

1) 16

Проверим, является ли число 16 членом последовательности. Для этого решим уравнение:

$c_n = 16$

$n^2 - 5 = 16$

Перенесем -5 в правую часть уравнения:

$n^2 = 16 + 5$

$n^2 = 21$

Найдем $n$, извлекая квадратный корень:

$n = \sqrt{21}$

Число $\sqrt{21}$ не является натуральным числом (так как $4^2 = 16$ и $5^2 = 25$). Следовательно, не существует натурального номера $n$, для которого член последовательности равен 16.

Ответ: число 16 не является членом данной последовательности.

2) 31

Проверим, является ли число 31 членом последовательности. Для этого решим уравнение:

$c_n = 31$

$n^2 - 5 = 31$

Перенесем -5 в правую часть уравнения:

$n^2 = 31 + 5$

$n^2 = 36$

Найдем $n$, извлекая квадратный корень:

$n = \sqrt{36}$

$n = 6$

Поскольку $n=6$ — это натуральное число, то число 31 является членом данной последовательности. Его номер — 6.

Ответ: да, является. Номер этого члена — 6.

5. Последовательность $(x_n)$ задана формулой $n$-го члена $x_n = 3n + 4$. Сколько членов этой последовательности меньше 20?

По условию задачи, последовательность ($x_n$) задана формулой n-го члена $x_n = 3n + 4$. Нам нужно найти количество членов этой последовательности, которые меньше 20. Для этого составим и решим неравенство:

$x_n < 20$

Подставим в неравенство формулу n-го члена:

$3n + 4 < 20$

Вычтем 4 из обеих частей неравенства:

$3n < 20 - 4$

$3n < 16$

Разделим обе части неравенства на 3:

$n < \frac{16}{3}$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число, чтобы определить целые значения $n$:

$n < 5\frac{1}{3}$

Поскольку $n$ — это номер члена последовательности, оно должно быть натуральным числом ($n \in \mathbb{N}$, то есть $n = 1, 2, 3, \dots$). Натуральные числа, удовлетворяющие неравенству $n < 5\frac{1}{3}$, это:

$n = 1, 2, 3, 4, 5$

Всего таких номеров 5. Следовательно, 5 членов этой последовательности меньше 20.

Ответ: 5.