Страница 66 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Имеется 6 различных конфет из молочного шоколада и 3 различные конфеты из чёрного шоколада. Сколькими способами можно выбрать одну конфету?

1) 9 способами

2) 12 способами

3) 18 способами

4) 36 способами

Для решения этой задачи используется основное правило комбинаторики — правило сложения. Оно применяется, когда необходимо выполнить одно из нескольких взаимоисключающих действий. В данном случае, нужно выбрать одну конфету, и эта конфета может быть либо из молочного шоколада, либо из чёрного.

У нас есть две группы конфет:
1. 6 различных конфет из молочного шоколада.
2. 3 различные конфеты из чёрного шоколада.

Количество способов выбрать одну конфету из молочного шоколада равно 6.
Количество способов выбрать одну конфету из чёрного шоколада равно 3.

Так как выбор конфеты из молочного шоколада и выбор конфеты из чёрного шоколада являются взаимоисключающими событиями (мы выбираем только одну конфету), общее количество способов выбора равно сумме способов выбора из каждой группы.

Вычислим общее количество способов:
$6 + 3 = 9$

Следовательно, выбрать одну конфету можно 9 способами.

Ответ: 9 способами

2. Имеется 6 различных конфет из молочного шоколада и 3 различные конфеты из чёрного шоколада. Сколькими способами можно выбрать набор, состоящий из двух конфет из различного шоколада?

1) 9 способами

2) 12 способами

3) 18 способами

4) 36 способами

Для решения этой задачи необходимо использовать правило произведения в комбинаторике. Нам нужно выбрать один предмет из одной группы и один предмет из другой группы.

1. Выбор конфеты из молочного шоколада.
Имеется 6 различных конфет из молочного шоколада. Следовательно, существует 6 способов выбрать одну конфету этого вида.

2. Выбор конфеты из чёрного шоколада.
Имеется 3 различные конфеты из чёрного шоколада. Следовательно, существует 3 способа выбрать одну конфету этого вида.

Поскольку выбор конфеты одного вида не зависит от выбора конфеты другого вида, общее количество способов составить набор из двух конфет (одной молочной и одной чёрной) равно произведению количества способов для каждого выбора.

Общее число способов $N$ вычисляется по формуле:

$N = (\text{число способов выбрать молочную конфету}) \times (\text{число способов выбрать чёрную конфету})$

$N = 6 \times 3 = 18$

Таким образом, существует 18 способов составить требуемый набор.

Ответ: 18 способами.

3. На первом курсе студенты изучают 10 различных предметов. Сколькими способами можно составить расписание на день, состоящее из трёх различных предметов?

Для решения этой задачи необходимо определить, важен ли порядок предметов в расписании. Поскольку расписание на день (первый урок, второй, третий) подразумевает, что порядок важен (например, расписание «Математика, Физика, История» отличается от расписания «История, Математика, Физика»), то для решения нужно использовать формулу из комбинаторики для подсчета числа размещений.

Размещением из $n$ элементов по $k$ называется любое упорядоченное подмножество из $k$ элементов, выбранных из множества, содержащего $n$ различных элементов. Число размещений обозначается $A_n^k$.

В нашем случае общее число предметов $n = 10$, а число предметов в расписании на день $k = 3$.

Формула для вычисления числа размещений:

$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

Подставим наши значения в формулу:

$A_{10}^3 = \frac{10!}{(10-3)!} = \frac{10!}{7!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!}{7!} = 10 \cdot 9 \cdot 8 = 720$

Также можно рассуждать, используя правило произведения:

1. На место первого предмета в расписании можно выбрать любой из 10 предметов.
2. После того как первый предмет выбран, на место второго остается $10 - 1 = 9$ предметов, так как предметы должны быть различными.
3. На место третьего предмета остается $9 - 1 = 8$ предметов.
Общее число способов составить расписание равно произведению числа вариантов для каждого места: $10 \cdot 9 \cdot 8 = 720$.

Ответ: 720

4. Сколько трёхзначных чётных чисел, все цифры которых различны, можно записать с помощью цифр 1, 2, 4, 6, 7?

Для решения этой задачи необходимо составить трёхзначное число, отвечающее трём условиям: оно должно быть чётным, все его цифры должны быть различны, и оно должно состоять из цифр, предложенных в наборе {1, 2, 4, 6, 7}.

Решение задачи удобно начать с разряда, на который наложено самое строгое ограничение. В данном случае это разряд единиц, так как число должно быть чётным.

1. Выбор цифры для разряда единиц.
   Чтобы число было чётным, его последняя цифра должна быть чётной. Из доступных цифр {1, 2, 4, 6, 7} чётными являются 2, 4 и 6. Таким образом, у нас есть 3 варианта для последней цифры.
2. Выбор цифры для разряда сотен.
   Всего в наборе 5 цифр. Одну цифру мы уже использовали для разряда единиц. Так как по условию все цифры в числе должны быть различны, для выбора первой цифры (сотен) у нас остаётся $5 - 1 = 4$ варианта.
3. Выбор цифры для разряда десятков.
   Мы уже выбрали две различные цифры для разрядов единиц и сотен. Следовательно, из первоначального набора в 5 цифр у нас осталось $5 - 2 = 3$ варианта для выбора второй цифры (десятков).

Чтобы найти общее количество возможных комбинаций, необходимо перемножить количество вариантов для каждого разряда, согласно комбинаторному правилу произведения:

Количество чисел = (количество вариантов для единиц) × (количество вариантов для сотен) × (количество вариантов для десятков).

$3 \times 4 \times 3 = 36$

Таким образом, можно составить 36 различных трёхзначных чётных чисел с неповторяющимися цифрами из заданного набора.

Ответ: 36

5. В магазине имеется 7 репродукций различных картин И. Репина, 5 репродукций различных картин И. Левитана и 2 репродукции различных картин К. Брюллова. Сколькими способами можно приобрести набор из двух репродукций, содержащий репродукции картин двоих из этих художников?

Для решения этой задачи необходимо рассмотреть все возможные комбинации пар художников, чьи репродукции можно приобрести. По условию, в наборе должны быть репродукции картин двух разных художников.

В наличии есть репродукции трех художников:

• И. Репин: 7 различных репродукций.
• И. Левитан: 5 различных репродукций.
• К. Брюллов: 2 различные репродукции.

Рассмотрим три возможных случая, которые удовлетворяют условию задачи.

1. Покупка одной репродукции И. Репина и одной репродукции И. Левитана

Выбрать одну из 7 репродукций Репина можно 7 способами. Выбрать одну из 5 репродукций Левитана можно 5 способами. Согласно правилу произведения в комбинаторике, общее число способов сформировать такую пару равно:

$N_1 = 7 \times 5 = 35$ способов.

2. Покупка одной репродукции И. Репина и одной репродукции К. Брюллова

Выбрать одну из 7 репродукций Репина можно 7 способами. Выбрать одну из 2 репродукций Брюллова можно 2 способами. Общее число способов для этой комбинации:

$N_2 = 7 \times 2 = 14$ способов.

3. Покупка одной репродукции И. Левитана и одной репродукции К. Брюллова

Выбрать одну из 5 репродукций Левитана можно 5 способами. Выбрать одну из 2 репродукций Брюллова можно 2 способами. Общее число способов для этой комбинации:

$N_3 = 5 \times 2 = 10$ способов.

Так как эти три случая являются взаимоисключающими, общее количество способов приобрести набор из двух репродукций разных художников находится по правилу сложения. Нужно сложить количество способов для каждого случая:

$N_{общ} = N_1 + N_2 + N_3 = 35 + 14 + 10 = 59$

Ответ: 59