Страница 59 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Слесарь должен был изготовить 280 втулок за определённый срок. Однако, изготавливая ежедневно на 4 втулки больше, чем планировалось, уже за 2 дня до окончания срока выполнения заказа слесарь изготовил 288 втулок.

Пусть планировалось изготавливать ежедневно по $x$ втулок. Какое из данных уравнений является математической моделью ситуации, описанной в условии?

1) $\frac{280}{x} - \frac{288}{x+4} = 2$

2) $\frac{280}{x+4} - \frac{288}{x} = 2$

3) $\frac{280}{x-4} - \frac{288}{x} = 2$

4) $\frac{280}{x} - \frac{288}{x-4} = 2$

Для того чтобы определить, какое из уравнений является математической моделью данной ситуации, давайте последовательно проанализируем условие задачи.

1. Определим плановые показатели.

Пусть $x$ — это количество втулок, которое слесарь планировал изготавливать в день (плановая производительность).

По плану он должен был изготовить 280 втулок. Следовательно, плановый срок выполнения заказа составляет:

$T_{план} = \frac{280}{x}$ дней.

2. Определим фактические показатели.

Слесарь изготавливал ежедневно на 4 втулки больше, чем планировалось. Значит, его фактическая производительность составляет:

$x + 4$ втулок в день.

Он изготовил 288 втулок. Время, которое он на это потратил (фактическое время), равно:

$T_{факт} = \frac{288}{x + 4}$ дней.

3. Составим уравнение на основе связи между плановым и фактическим временем.

В условии сказано, что слесарь изготовил 288 втулок "за 2 дня до окончания срока выполнения заказа". Это означает, что плановый срок ($T_{план}$) на 2 дня больше, чем время, которое он фактически затратил ($T_{факт}$).

Таким образом, мы можем составить следующее уравнение:

$T_{план} - T_{факт} = 2$

Теперь подставим выражения для $T_{план}$ и $T_{факт}$ в это уравнение:

$\frac{280}{x} - \frac{288}{x + 4} = 2$

4. Сравнение с вариантами.

Полученное уравнение полностью совпадает с уравнением, предложенным в варианте 1.

Ответ: 1) $\frac{280}{x} - \frac{288}{x + 4} = 2$

2. Катер прошёл 10 км по озеру, а затем 16 км по реке, вытекающей из этого озера, за 1 ч 10 мин. Известно, что 6 км по озеру катер проходит на 12 мин быстрее, чем 12 км по течению реки. Пусть собственная скорость катера равна x км/ч, а скорость течения реки — y км/ч. Какая из данных систем уравнений является математической моделью ситуации, описанной в условии?

1) $$ \begin{cases} \frac{10}{x} + \frac{16}{x+y} = 1,1 \\ \frac{12}{x+y} - \frac{6}{x} = 0,12 \end{cases} $$

2) $$ \begin{cases} \frac{10}{x} + \frac{16}{x+y} = \frac{7}{6} \\ \frac{12}{x+y} - \frac{6}{x} = 0,2 \end{cases} $$

3) $$ \begin{cases} \frac{10}{x} + \frac{16}{x-y} = 1,1 \\ \frac{12}{x+y} - \frac{6}{x} = 0,12 \end{cases} $$

4) $$ \begin{cases} \frac{10}{x} + \frac{16}{x-y} = \frac{7}{6} \\ \frac{12}{x+y} - \frac{6}{x} = 0,2 \end{cases} $$

Для составления математической модели проанализируем каждое условие задачи.

Пусть $x$ км/ч — собственная скорость катера, а $y$ км/ч — скорость течения реки.

1. Скорости движения катера:

• Скорость катера по озеру (в стоячей воде) равна его собственной скорости: $x$ км/ч.
• Река вытекает из озера, и катер плывет по ней, значит, он движется по течению. Скорость катера по течению реки складывается из его собственной скорости и скорости течения: $x + y$ км/ч.

2. Первое уравнение системы:

По условию, катер прошёл 10 км по озеру и 16 км по реке за 1 ч 10 мин. Используя формулу времени $t = S/v$, где $S$ — расстояние, а $v$ — скорость, найдем время для каждого участка пути:

• Время движения по озеру: $t_1 = \frac{10}{x}$ ч.
• Время движения по реке: $t_2 = \frac{16}{x+y}$ ч.

Общее время движения составляет $t_1 + t_2$. Переведем общее время из условия в часы:

$1 \text{ ч } 10 \text{ мин} = 1 + \frac{10}{60} \text{ ч} = 1 + \frac{1}{6} \text{ ч} = \frac{7}{6}$ ч.

Таким образом, первое уравнение системы имеет вид:

$\frac{10}{x} + \frac{16}{x+y} = \frac{7}{6}$

3. Второе уравнение системы:

По второму условию, 6 км по озеру катер проходит на 12 мин быстрее, чем 12 км по течению реки. Снова выразим время для каждого участка:

• Время движения 6 км по озеру: $t_3 = \frac{6}{x}$ ч.
• Время движения 12 км по течению реки: $t_4 = \frac{12}{x+y}$ ч.

Условие "на 12 мин быстрее" означает, что время $t_3$ меньше времени $t_4$ на 12 минут. Запишем разницу: $t_4 - t_3 = 12$ мин. Переведем 12 минут в часы:

$12 \text{ мин} = \frac{12}{60} \text{ ч} = \frac{1}{5} \text{ ч} = 0.2$ ч.

Таким образом, второе уравнение системы имеет вид:

$\frac{12}{x+y} - \frac{6}{x} = 0.2$

4. Итоговая система уравнений:

Объединив оба уравнения, получаем систему:

$$\begin{cases} \frac{10}{x} + \frac{16}{x+y} = \frac{7}{6}, \\\frac{12}{x+y} - \frac{6}{x} = 0.2 \end{cases}$$

Сравнивая полученную систему с предложенными вариантами, мы видим, что она полностью совпадает с системой под номером 2.

Ответ: 2

3. Первый насос перекачивает $30 \text{ м}^3$ воды на 1 мин дольше, чем второй. Известно, что первый насос за 3 мин перекачивает на $15 \text{ м}^3$ воды больше, чем второй за 1 мин.

Пусть первый насос за минуту перекачивает $x \text{ м}^3$ воды, а второй — $y \text{ м}^3$. Составьте систему уравнений, являющуюся математической моделью ситуации, описанной в условии.

$\begin{cases}\frac{30}{x} = \frac{30}{y} + 1 \\3x = y + 15\end{cases}$

Пусть $x$ м³/мин — производительность первого насоса (объем воды, перекачиваемый за минуту), а $y$ м³/мин — производительность второго насоса.

Рассмотрим первое условие: «Первый насос перекачивает 30 м³ воды на 1 мин дольше, чем второй». Время ($t$), необходимое для выполнения работы объемом ($V$) с определенной производительностью ($P$), находится по формуле $t = V/P$.

Время, которое требуется первому насосу, чтобы перекачать 30 м³ воды: $t_1 = \frac{30}{x}$ мин.

Время, которое требуется второму насосу для той же работы: $t_2 = \frac{30}{y}$ мин.

Поскольку время первого насоса на 1 минуту больше, чем время второго, получаем уравнение: $t_1 - t_2 = 1$. Подставив выражения для $t_1$ и $t_2$, получим первое уравнение системы:

$\frac{30}{x} - \frac{30}{y} = 1$

Рассмотрим второе условие: «первый насос за 3 мин перекачивает на 15 м³ воды больше, чем второй за 1 мин». Объем воды ($V$), перекачанный за время ($t$) с производительностью ($P$), находится по формуле $V = P \cdot t$.

Объем воды, перекачанный первым насосом за 3 минуты: $V_1 = 3 \cdot x = 3x$ м³.

Объем воды, перекачанный вторым насосом за 1 минуту: $V_2 = 1 \cdot y = y$ м³.

Поскольку первый объем на 15 м³ больше второго, получаем уравнение: $V_1 - V_2 = 15$. Подставив выражения для $V_1$ и $V_2$, получим второе уравнение системы:

$3x - y = 15$

Объединив оба уравнения, мы получим систему, которая является математической моделью данной ситуации.

Ответ: $\begin{cases}\frac{30}{x} - \frac{30}{y} = 1 \\3x - y = 15\end{cases}$