Номер 2, страница 59, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

2. Катер прошёл 10 км по озеру, а затем 16 км по реке, вытекающей из этого озера, за 1 ч 10 мин. Известно, что 6 км по озеру катер проходит на 12 мин быстрее, чем 12 км по течению реки. Пусть собственная скорость катера равна x км/ч, а скорость течения реки — y км/ч. Какая из данных систем уравнений является математической моделью ситуации, описанной в условии?

1) $$ \begin{cases} \frac{10}{x} + \frac{16}{x+y} = 1,1 \\ \frac{12}{x+y} - \frac{6}{x} = 0,12 \end{cases} $$

2) $$ \begin{cases} \frac{10}{x} + \frac{16}{x+y} = \frac{7}{6} \\ \frac{12}{x+y} - \frac{6}{x} = 0,2 \end{cases} $$

3) $$ \begin{cases} \frac{10}{x} + \frac{16}{x-y} = 1,1 \\ \frac{12}{x+y} - \frac{6}{x} = 0,12 \end{cases} $$

4) $$ \begin{cases} \frac{10}{x} + \frac{16}{x-y} = \frac{7}{6} \\ \frac{12}{x+y} - \frac{6}{x} = 0,2 \end{cases} $$

Для составления математической модели проанализируем каждое условие задачи.

Пусть $x$ км/ч — собственная скорость катера, а $y$ км/ч — скорость течения реки.

1. Скорости движения катера:

• Скорость катера по озеру (в стоячей воде) равна его собственной скорости: $x$ км/ч.
• Река вытекает из озера, и катер плывет по ней, значит, он движется по течению. Скорость катера по течению реки складывается из его собственной скорости и скорости течения: $x + y$ км/ч.

2. Первое уравнение системы:

По условию, катер прошёл 10 км по озеру и 16 км по реке за 1 ч 10 мин. Используя формулу времени $t = S/v$, где $S$ — расстояние, а $v$ — скорость, найдем время для каждого участка пути:

• Время движения по озеру: $t_1 = \frac{10}{x}$ ч.
• Время движения по реке: $t_2 = \frac{16}{x+y}$ ч.

Общее время движения составляет $t_1 + t_2$. Переведем общее время из условия в часы:

$1 \text{ ч } 10 \text{ мин} = 1 + \frac{10}{60} \text{ ч} = 1 + \frac{1}{6} \text{ ч} = \frac{7}{6}$ ч.

Таким образом, первое уравнение системы имеет вид:

$\frac{10}{x} + \frac{16}{x+y} = \frac{7}{6}$

3. Второе уравнение системы:

По второму условию, 6 км по озеру катер проходит на 12 мин быстрее, чем 12 км по течению реки. Снова выразим время для каждого участка:

• Время движения 6 км по озеру: $t_3 = \frac{6}{x}$ ч.
• Время движения 12 км по течению реки: $t_4 = \frac{12}{x+y}$ ч.

Условие "на 12 мин быстрее" означает, что время $t_3$ меньше времени $t_4$ на 12 минут. Запишем разницу: $t_4 - t_3 = 12$ мин. Переведем 12 минут в часы:

$12 \text{ мин} = \frac{12}{60} \text{ ч} = \frac{1}{5} \text{ ч} = 0.2$ ч.

Таким образом, второе уравнение системы имеет вид:

$\frac{12}{x+y} - \frac{6}{x} = 0.2$

4. Итоговая система уравнений:

Объединив оба уравнения, получаем систему:

$$\begin{cases} \frac{10}{x} + \frac{16}{x+y} = \frac{7}{6}, \\\frac{12}{x+y} - \frac{6}{x} = 0.2 \end{cases}$$

Сравнивая полученную систему с предложенными вариантами, мы видим, что она полностью совпадает с системой под номером 2.

Ответ: 2