Номер 3, страница 59, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

3. Первый насос перекачивает $30 \text{ м}^3$ воды на 1 мин дольше, чем второй. Известно, что первый насос за 3 мин перекачивает на $15 \text{ м}^3$ воды больше, чем второй за 1 мин.

Пусть первый насос за минуту перекачивает $x \text{ м}^3$ воды, а второй — $y \text{ м}^3$. Составьте систему уравнений, являющуюся математической моделью ситуации, описанной в условии.

$\begin{cases}\frac{30}{x} = \frac{30}{y} + 1 \\3x = y + 15\end{cases}$

Пусть $x$ м³/мин — производительность первого насоса (объем воды, перекачиваемый за минуту), а $y$ м³/мин — производительность второго насоса.

Рассмотрим первое условие: «Первый насос перекачивает 30 м³ воды на 1 мин дольше, чем второй». Время ($t$), необходимое для выполнения работы объемом ($V$) с определенной производительностью ($P$), находится по формуле $t = V/P$.

Время, которое требуется первому насосу, чтобы перекачать 30 м³ воды: $t_1 = \frac{30}{x}$ мин.

Время, которое требуется второму насосу для той же работы: $t_2 = \frac{30}{y}$ мин.

Поскольку время первого насоса на 1 минуту больше, чем время второго, получаем уравнение: $t_1 - t_2 = 1$. Подставив выражения для $t_1$ и $t_2$, получим первое уравнение системы:

$\frac{30}{x} - \frac{30}{y} = 1$

Рассмотрим второе условие: «первый насос за 3 мин перекачивает на 15 м³ воды больше, чем второй за 1 мин». Объем воды ($V$), перекачанный за время ($t$) с производительностью ($P$), находится по формуле $V = P \cdot t$.

Объем воды, перекачанный первым насосом за 3 минуты: $V_1 = 3 \cdot x = 3x$ м³.

Объем воды, перекачанный вторым насосом за 1 минуту: $V_2 = 1 \cdot y = y$ м³.

Поскольку первый объем на 15 м³ больше второго, получаем уравнение: $V_1 - V_2 = 15$. Подставив выражения для $V_1$ и $V_2$, получим второе уравнение системы:

$3x - y = 15$

Объединив оба уравнения, мы получим систему, которая является математической моделью данной ситуации.

Ответ: $\begin{cases}\frac{30}{x} - \frac{30}{y} = 1 \\3x - y = 15\end{cases}$