Номер 2, страница 57, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

2. Катер прошёл 9 км по озеру, а затем 12 км по реке, впадающей в это озеро, за 50 мин. Известно, что 8 км по течению этой реки катер проходит на 6 мин дольше, чем 4 км против течения. Пусть собственная скорость катера равна $x$ км/ч, а скорость течения реки — $y$ км/ч. Какая из данных систем уравнений является математической моделью ситуации, описанной в условии?

1) $\left\{ \begin{array}{l} \frac{12}{x-y} + \frac{9}{x} = 50, \\ \frac{8}{x+y} - \frac{4}{x-y} = 6 \end{array} \right.$

2) $\left\{ \begin{array}{l} \frac{12}{x-y} + \frac{9}{x} = \frac{5}{6}, \\ \frac{8}{x+y} - \frac{4}{x-y} = \frac{1}{10} \end{array} \right.$

3) $\left\{ \begin{array}{l} \frac{12}{x} + \frac{9}{y} = 50, \\ \frac{8}{x-y} - \frac{4}{x+y} = 6 \end{array} \right.$

4) $\left\{ \begin{array}{l} \frac{12}{x+y} + \frac{9}{x} = \frac{5}{6}, \\ \frac{8}{x+y} - \frac{4}{x-y} = \frac{1}{10} \end{array} \right.$

Для того чтобы составить математическую модель задачи, необходимо перевести словесное описание в систему уравнений. В условии уже даны переменные: $x$ км/ч — собственная скорость катера, и $y$ км/ч — скорость течения реки.

Исходя из этих данных, определим скорости катера в разных условиях:
- Скорость движения по озеру (стоячая вода) равна собственной скорости: $x$ км/ч.
- Скорость движения по течению реки (вниз по течению): $x + y$ км/ч.
- Скорость движения против течения реки (вверх по течению): $x - y$ км/ч.

Для нахождения времени будем использовать формулу $t = \frac{S}{v}$, где $S$ — это расстояние, а $v$ — скорость. Важно помнить, что все единицы измерения должны быть согласованы. Так как скорость дана в км/ч, время необходимо выражать в часах.

Составление первого уравнения
Условие: "Катер прошёл 9 км по озеру, а затем 12 км по реке, впадающей в это озеро, за 50 мин".
1. Время, затраченное на 9 км по озеру: $t_1 = \frac{9}{x}$ часов.
2. Движение "по реке, впадающей в озеро" после движения по озеру означает движение от озера вверх по реке, то есть против течения. Скорость на этом участке будет $x - y$ км/ч.
3. Время, затраченное на 12 км против течения: $t_2 = \frac{12}{x - y}$ часов.
4. Общее время составляет 50 минут. Переведем его в часы: $50 \text{ мин} = \frac{50}{60} \text{ ч} = \frac{5}{6} \text{ ч}$.
5. Суммарное время равно $t_1 + t_2$. Получаем первое уравнение: $\frac{9}{x} + \frac{12}{x - y} = \frac{5}{6}$.

Составление второго уравнения
Условие: "8 км по течению этой реки катер проходит на 6 мин дольше, чем 4 км против течения".
1. Время, затраченное на 8 км по течению: $t_{по} = \frac{8}{x + y}$ часов.
2. Время, затраченное на 4 км против течения: $t_{против} = \frac{4}{x - y}$ часов.
3. Разница во времени составляет 6 минут. Переведем в часы: $6 \text{ мин} = \frac{6}{60} \text{ ч} = \frac{1}{10} \text{ ч}$.
4. По условию время по течению ($t_{по}$) на $\frac{1}{10}$ часа больше, чем время против течения ($t_{против}$), то есть $t_{по} - t_{против} = \frac{1}{10}$.
5. Подставляя выражения для времени, получаем второе уравнение: $\frac{8}{x + y} - \frac{4}{x - y} = \frac{1}{10}$.

Итоговая система уравнений
Объединяя оба уравнения, получаем систему:$$ \begin{cases} \frac{12}{x - y} + \frac{9}{x} = \frac{5}{6} \\ \frac{8}{x + y} - \frac{4}{x - y} = \frac{1}{10} \end{cases} $$Данная система соответствует варианту ответа под номером 2.

Ответ: 2