Страница 57 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Токарь должен был изготовить 408 деталей за определённый срок. Однако, изготавливая ежедневно на 6 деталей больше, чем планировалось, уже за 3 дня до окончания срока выполнения заказа токарь изготовил 420 деталей.

Пусть планировалось изготавливать ежедневно по $x$ деталей. Какое из данных уравнений является математической моделью ситуации, описанной в условии?

1) $\frac{408}{x-6} - \frac{420}{x} = 3$

2) $\frac{408}{x} - \frac{420}{x+6} = 3$

3) $\frac{420}{x} - \frac{408}{x-6} = 3$

4) $\frac{420}{x+6} - \frac{408}{x} = 3$

Для составления математической модели проанализируем условие задачи.

Пусть $x$ — это количество деталей, которое токарь планировал изготавливать ежедневно. Это плановая производительность.

По плану токарь должен был изготовить 408 деталей. Следовательно, плановое время на выполнение всего заказа (срок) составляет $\frac{408}{x}$ дней.

По условию, токарь изготавливал ежедневно на 6 деталей больше, чем планировалось. Значит, его фактическая производительность составила $x + 6$ деталей в день.

За некоторое время он изготовил 420 деталей. Время, которое он на это потратил, равно $\frac{420}{x+6}$ дней.

В задаче сказано, что токарь изготовил 420 деталей за 3 дня до окончания срока. Это означает, что разница между плановым временем выполнения заказа и фактически затраченным временем составляет 3 дня.

Составим уравнение:

(Плановое время) - (Фактически затраченное время) = 3 дня

$\frac{408}{x} - \frac{420}{x+6} = 3$

Это уравнение соответствует варианту под номером 2.

Ответ: 2

2. Катер прошёл 9 км по озеру, а затем 12 км по реке, впадающей в это озеро, за 50 мин. Известно, что 8 км по течению этой реки катер проходит на 6 мин дольше, чем 4 км против течения. Пусть собственная скорость катера равна $x$ км/ч, а скорость течения реки — $y$ км/ч. Какая из данных систем уравнений является математической моделью ситуации, описанной в условии?

1) $\left\{ \begin{array}{l} \frac{12}{x-y} + \frac{9}{x} = 50, \\ \frac{8}{x+y} - \frac{4}{x-y} = 6 \end{array} \right.$

2) $\left\{ \begin{array}{l} \frac{12}{x-y} + \frac{9}{x} = \frac{5}{6}, \\ \frac{8}{x+y} - \frac{4}{x-y} = \frac{1}{10} \end{array} \right.$

3) $\left\{ \begin{array}{l} \frac{12}{x} + \frac{9}{y} = 50, \\ \frac{8}{x-y} - \frac{4}{x+y} = 6 \end{array} \right.$

4) $\left\{ \begin{array}{l} \frac{12}{x+y} + \frac{9}{x} = \frac{5}{6}, \\ \frac{8}{x+y} - \frac{4}{x-y} = \frac{1}{10} \end{array} \right.$

Для того чтобы составить математическую модель задачи, необходимо перевести словесное описание в систему уравнений. В условии уже даны переменные: $x$ км/ч — собственная скорость катера, и $y$ км/ч — скорость течения реки.

Исходя из этих данных, определим скорости катера в разных условиях:
- Скорость движения по озеру (стоячая вода) равна собственной скорости: $x$ км/ч.
- Скорость движения по течению реки (вниз по течению): $x + y$ км/ч.
- Скорость движения против течения реки (вверх по течению): $x - y$ км/ч.

Для нахождения времени будем использовать формулу $t = \frac{S}{v}$, где $S$ — это расстояние, а $v$ — скорость. Важно помнить, что все единицы измерения должны быть согласованы. Так как скорость дана в км/ч, время необходимо выражать в часах.

Составление первого уравнения
Условие: "Катер прошёл 9 км по озеру, а затем 12 км по реке, впадающей в это озеро, за 50 мин".
1. Время, затраченное на 9 км по озеру: $t_1 = \frac{9}{x}$ часов.
2. Движение "по реке, впадающей в озеро" после движения по озеру означает движение от озера вверх по реке, то есть против течения. Скорость на этом участке будет $x - y$ км/ч.
3. Время, затраченное на 12 км против течения: $t_2 = \frac{12}{x - y}$ часов.
4. Общее время составляет 50 минут. Переведем его в часы: $50 \text{ мин} = \frac{50}{60} \text{ ч} = \frac{5}{6} \text{ ч}$.
5. Суммарное время равно $t_1 + t_2$. Получаем первое уравнение: $\frac{9}{x} + \frac{12}{x - y} = \frac{5}{6}$.

Составление второго уравнения
Условие: "8 км по течению этой реки катер проходит на 6 мин дольше, чем 4 км против течения".
1. Время, затраченное на 8 км по течению: $t_{по} = \frac{8}{x + y}$ часов.
2. Время, затраченное на 4 км против течения: $t_{против} = \frac{4}{x - y}$ часов.
3. Разница во времени составляет 6 минут. Переведем в часы: $6 \text{ мин} = \frac{6}{60} \text{ ч} = \frac{1}{10} \text{ ч}$.
4. По условию время по течению ($t_{по}$) на $\frac{1}{10}$ часа больше, чем время против течения ($t_{против}$), то есть $t_{по} - t_{против} = \frac{1}{10}$.
5. Подставляя выражения для времени, получаем второе уравнение: $\frac{8}{x + y} - \frac{4}{x - y} = \frac{1}{10}$.

Итоговая система уравнений
Объединяя оба уравнения, получаем систему:$$ \begin{cases} \frac{12}{x - y} + \frac{9}{x} = \frac{5}{6} \\ \frac{8}{x + y} - \frac{4}{x - y} = \frac{1}{10} \end{cases} $$Данная система соответствует варианту ответа под номером 2.

Ответ: 2

3. На первом станке можно изготовить 100 деталей на 1 ч быстрее, чем на втором. Известно, что на первом станке можно изготовить за 2 ч на 30 деталей больше, чем на втором за 1 ч.

Пусть на первом станке можно изготовить за час $x$ деталей, а на втором — $y$ деталей. Составьте систему уравнений, являющуюся математической моделью ситуации, описанной в условии.

Пусть $x$ — количество деталей, которое изготавливает за час первый станок, а $y$ — количество деталей, которое изготавливает за час второй станок.

Исходя из первого условия: "На первом станке можно изготовить 100 деталей на 1 ч быстрее, чем на втором". Время, которое требуется первому станку для изготовления 100 деталей, составляет $t_1 = \frac{100}{x}$ часов. Время, которое требуется второму станку для изготовления 100 деталей, составляет $t_2 = \frac{100}{y}$ часов. Поскольку первый станок работает на 1 час быстрее, то его время меньше, и разница времен составляет 1 час. Это можно выразить уравнением: $t_2 - t_1 = 1$, или $\frac{100}{y} - \frac{100}{x} = 1$.

Исходя из второго условия: "на первом станке можно изготовить за 2 ч на 30 деталей больше, чем на втором за 1 ч". За 2 часа первый станок изготовит $2x$ деталей. За 1 час второй станок изготовит $y$ деталей. Разница в количестве деталей равна 30. Это можно выразить уравнением: $2x - y = 30$.

Объединяя оба уравнения, мы получаем систему, которая является математической моделью данной ситуации.
Ответ: $ \begin{cases} \frac{100}{y} - \frac{100}{x} = 1 \\ 2x - y = 30 \end{cases} $