Страница 51 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. На рисунке 19 изображены графики уравнений $y = x^2 - 4x + 4$, $y - x = 0$, $y - x = -3$, $x - 3 = 0$, $y - 3 = 0$. Используя этот рисунок, укажите систему уравнений, не имеющую решений.

1) $ \begin{cases} y = x^2 - 4x + 4 \\ y - x = 0 \end{cases} $

2) $ \begin{cases} y = x^2 - 4x + 4 \\ y - x = -3 \end{cases} $

3) $ \begin{cases} y = x^2 - 4x + 4 \\ y - 3 = 0 \end{cases} $

4) $ \begin{cases} y = x^2 - 4x + 4 \\ x - 3 = 0 \end{cases} $

Рис. 19

Чтобы определить, какая система уравнений не имеет решений, нужно найти пару графиков, которые не пересекаются. Решения системы уравнений — это точки пересечения графиков соответствующих функций.

На рисунке изображены графики следующих уравнений:

• Парабола: $y = x^2 - 4x + 4$, что можно записать как $y = (x - 2)^2$. Это парабола с вершиной в точке $(2, 0)$.
• Прямая, проходящая через начало координат: $y - x = 0$, или $y = x$.
• Прямая, параллельная прямой $y = x$: $y - x = -3$, или $y = x - 3$.
• Горизонтальная прямая: $y - 3 = 0$, или $y = 3$.
• Вертикальная прямая: $x - 3 = 0$, или $x = 3$.

Рассмотрим каждую систему уравнений:

1)$\begin{cases} y = x^2 - 4x + 4 \\ y - x = 0 \end{cases}$
Эта система соответствует точкам пересечения параболы $y = (x - 2)^2$ и прямой $y = x$. На графике видно, что эти линии пересекаются в двух точках (в точках $(1, 1)$ и $(4, 4)$). Следовательно, система имеет два решения.
Ответ: система имеет решения.

2)$\begin{cases} y = x^2 - 4x + 4 \\ y - x = -3 \end{cases}$
Эта система соответствует точкам пересечения параболы $y = (x - 2)^2$ и прямой $y = x - 3$. На графике видно, что парабола и данная прямая не имеют общих точек, то есть не пересекаются. Следовательно, система не имеет решений.
Ответ: система не имеет решений.

3)$\begin{cases} y = x^2 - 4x + 4 \\ y - 3 = 0 \end{cases}$
Эта система соответствует точкам пересечения параболы $y = (x - 2)^2$ и прямой $y = 3$. На графике видно, что эти линии пересекаются в двух точках. Следовательно, система имеет два решения.
Ответ: система имеет решения.

4)$\begin{cases} y = x^2 - 4x + 4 \\ x - 3 = 0 \end{cases}$
Эта система соответствует точкам пересечения параболы $y = (x - 2)^2$ и прямой $x = 3$. На графике видно, что эти линии пересекаются в одной точке (в точке $(3, 1)$). Следовательно, система имеет одно решение.
Ответ: система имеет решения.

Таким образом, единственная система, не имеющая решений, — это система под номером 2.

Ответ: 2.

2. Укажите решения системы уравнений

$\begin{cases} x - y = 2, \\ y^2 - 2xy = 3. \end{cases}$

1) $(1; -1), (-3; -1)$

2) $(-1; 1), (-1; -3)$

3) $(1; -1), (-1; -3)$

4) $(-1; 1), (-3; -1)$

Для решения данной системы уравнений воспользуемся методом подстановки.

$\begin{cases} x - y = 2, \\ y^2 - 2xy = 3. \end{cases}$

1. Выразим переменную $x$ из первого уравнения

Из уравнения $x - y = 2$ получаем:

$x = y + 2$

2. Подставим полученное выражение во второе уравнение

Подставим $x = y + 2$ в уравнение $y^2 - 2xy = 3$:

$y^2 - 2(y + 2)y = 3$

3. Решим полученное уравнение относительно $y$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$y^2 - 2y^2 - 4y = 3$

$-y^2 - 4y - 3 = 0$

Умножим обе части уравнения на $-1$, чтобы получить приведенное квадратное уравнение:

$y^2 + 4y + 3 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения. Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня:

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 2}{2} = -1$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 2}{2} = -3$

4. Найдем соответствующие значения $x$

Теперь для каждого найденного значения $y$ найдем соответствующее значение $x$, используя выражение $x = y + 2$.

Если $y_1 = -1$, то $x_1 = -1 + 2 = 1$.

Первое решение системы: $(1; -1)$.

Если $y_2 = -3$, то $x_2 = -3 + 2 = -1$.

Второе решение системы: $(-1; -3)$.

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(1; -1), (-1; -3)$

3. Решите графически систему уравнений $\begin{cases} x - y = 1, \\ xy = 6. \end{cases}$

Для графического решения системы уравнений необходимо построить графики каждого уравнения в одной системе координат. Координаты точек пересечения этих графиков будут являться решениями системы.

1. Анализ и построение графика первого уравнения $x - y = 1$

Выразим $y$ через $x$, чтобы получить уравнение функции:

$y = x - 1$

Это линейная функция, графиком которой является прямая. Для построения прямой достаточно найти координаты двух любых точек, принадлежащих ей.

• При $x = 0$, $y = 0 - 1 = -1$. Получаем точку $(0, -1)$.
• При $x = 1$, $y = 1 - 1 = 0$. Получаем точку $(1, 0)$.

Проводим прямую через эти две точки.

2. Анализ и построение графика второго уравнения $xy = 6$

Выразим $y$ через $x$, чтобы получить уравнение функции:

$y = \frac{6}{x}$

Это обратная пропорциональность, графиком которой является гипербола. Ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях. Составим таблицу нескольких точек для каждой ветви.

Для первой ветви (I четверть):

• $x = 1, y = 6$
• $x = 2, y = 3$
• $x = 3, y = 2$
• $x = 6, y = 1$

Для второй ветви (III четверть):

• $x = -1, y = -6$
• $x = -2, y = -3$
• $x = -3, y = -2$
• $x = -6, y = -1$

Строим гиперболу по этим точкам.

3. Нахождение решения системы

Построив графики прямой $y = x - 1$ и гиперболы $y = \frac{6}{x}$ в одной системе координат, мы находим точки их пересечения. Из графика видно, что прямая и гипербола пересекаются в двух точках:

• Точка A с координатами $(3, 2)$.
• Точка B с координатами $(-2, -3)$.

Для проверки правильности найденных решений подставим координаты этих точек в исходные уравнения системы.

Проверка для точки $(3, 2)$:

$3 - 2 = 1$ (верно)

$3 \cdot 2 = 6$ (верно)

Проверка для точки $(-2, -3)$:

$-2 - (-3) = -2 + 3 = 1$ (верно)

$(-2) \cdot (-3) = 6$ (верно)

Обе точки удовлетворяют системе уравнений.

Ответ: $(3, 2)$; $(-2, -3)$.

4. Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} 2x + y = 5, \\ 3x^2 - y^2 = 11; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x^2 - 8xy + 16y^2 = 4, \\ x + 4y = 10. \end{cases}$

1) Дана система уравнений: $ \begin{cases} 2x + y = 5, \\ 3x^2 - y^2 = 11 \end{cases} $
Решим данную систему методом подстановки. Из первого уравнения выразим переменную $y$ через $x$:
$y = 5 - 2x$
Теперь подставим это выражение во второе уравнение системы:
$3x^2 - (5 - 2x)^2 = 11$
Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$3x^2 - (5^2 - 2 \cdot 5 \cdot 2x + (2x)^2) = 11$
$3x^2 - (25 - 20x + 4x^2) = 11$
$3x^2 - 25 + 20x - 4x^2 = 11$
Приведем подобные слагаемые:
$-x^2 + 20x - 25 = 11$
Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:
$-x^2 + 20x - 25 - 11 = 0$
$-x^2 + 20x - 36 = 0$
Умножим обе части уравнения на -1 для удобства вычислений:
$x^2 - 20x + 36 = 0$
Найдем корни полученного квадратного уравнения. По теореме Виета, сумма корней равна 20, а их произведение равно 36. Этим условиям удовлетворяют числа 2 и 18.
$x_1 = 2$
$x_2 = 18$
Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого найденного значения $x$, используя подстановку $y = 5 - 2x$:
Если $x_1 = 2$, то $y_1 = 5 - 2 \cdot 2 = 5 - 4 = 1$.
Если $x_2 = 18$, то $y_2 = 5 - 2 \cdot 18 = 5 - 36 = -31$.
Таким образом, система имеет два решения: (2; 1) и (18; -31).
Ответ: $(2; 1)$, $(18; -31)$.

2) Дана система уравнений: $ \begin{cases} x^2 - 8xy + 16y^2 = 4, \\ x + 4y = 10 \end{cases} $
Обратим внимание на первое уравнение. Левая часть этого уравнения является полным квадратом разности, так как $x^2 - 8xy + 16y^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot (4y) + (4y)^2 = (x - 4y)^2$.
Таким образом, первое уравнение можно переписать в виде:
$(x - 4y)^2 = 4$
Извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения, получаем два возможных линейных уравнения:
$x - 4y = 2$ или $x - 4y = -2$.
Это означает, что исходная система эквивалентна совокупности двух систем линейных уравнений.

Рассмотрим первый случай:
$ \begin{cases} x - 4y = 2, \\ x + 4y = 10 \end{cases} $
Сложим почленно два уравнения этой системы:
$(x - 4y) + (x + 4y) = 2 + 10$
$2x = 12$
$x = 6$
Подставим найденное значение $x$ во второе уравнение $x + 4y = 10$:
$6 + 4y = 10 \implies 4y = 4 \implies y = 1$
Получили первое решение: (6; 1).

Рассмотрим второй случай:
$ \begin{cases} x - 4y = -2, \\ x + 4y = 10 \end{cases} $
Аналогично сложим уравнения системы:
$(x - 4y) + (x + 4y) = -2 + 10$
$2x = 8$
$x = 4$
Подставим $x=4$ во второе уравнение $x + 4y = 10$:
$4 + 4y = 10 \implies 4y = 6 \implies y = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1,5$
Получили второе решение: (4; 1,5).
Ответ: $(6; 1)$, $(4; 1,5)$.