Номер 4, страница 51, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

4. Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} 2x + y = 5, \\ 3x^2 - y^2 = 11; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x^2 - 8xy + 16y^2 = 4, \\ x + 4y = 10. \end{cases}$

1) Дана система уравнений: $ \begin{cases} 2x + y = 5, \\ 3x^2 - y^2 = 11 \end{cases} $
Решим данную систему методом подстановки. Из первого уравнения выразим переменную $y$ через $x$:
$y = 5 - 2x$
Теперь подставим это выражение во второе уравнение системы:
$3x^2 - (5 - 2x)^2 = 11$
Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$3x^2 - (5^2 - 2 \cdot 5 \cdot 2x + (2x)^2) = 11$
$3x^2 - (25 - 20x + 4x^2) = 11$
$3x^2 - 25 + 20x - 4x^2 = 11$
Приведем подобные слагаемые:
$-x^2 + 20x - 25 = 11$
Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:
$-x^2 + 20x - 25 - 11 = 0$
$-x^2 + 20x - 36 = 0$
Умножим обе части уравнения на -1 для удобства вычислений:
$x^2 - 20x + 36 = 0$
Найдем корни полученного квадратного уравнения. По теореме Виета, сумма корней равна 20, а их произведение равно 36. Этим условиям удовлетворяют числа 2 и 18.
$x_1 = 2$
$x_2 = 18$
Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого найденного значения $x$, используя подстановку $y = 5 - 2x$:
Если $x_1 = 2$, то $y_1 = 5 - 2 \cdot 2 = 5 - 4 = 1$.
Если $x_2 = 18$, то $y_2 = 5 - 2 \cdot 18 = 5 - 36 = -31$.
Таким образом, система имеет два решения: (2; 1) и (18; -31).
Ответ: $(2; 1)$, $(18; -31)$.

2) Дана система уравнений: $ \begin{cases} x^2 - 8xy + 16y^2 = 4, \\ x + 4y = 10 \end{cases} $
Обратим внимание на первое уравнение. Левая часть этого уравнения является полным квадратом разности, так как $x^2 - 8xy + 16y^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot (4y) + (4y)^2 = (x - 4y)^2$.
Таким образом, первое уравнение можно переписать в виде:
$(x - 4y)^2 = 4$
Извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения, получаем два возможных линейных уравнения:
$x - 4y = 2$ или $x - 4y = -2$.
Это означает, что исходная система эквивалентна совокупности двух систем линейных уравнений.

Рассмотрим первый случай:
$ \begin{cases} x - 4y = 2, \\ x + 4y = 10 \end{cases} $
Сложим почленно два уравнения этой системы:
$(x - 4y) + (x + 4y) = 2 + 10$
$2x = 12$
$x = 6$
Подставим найденное значение $x$ во второе уравнение $x + 4y = 10$:
$6 + 4y = 10 \implies 4y = 4 \implies y = 1$
Получили первое решение: (6; 1).

Рассмотрим второй случай:
$ \begin{cases} x - 4y = -2, \\ x + 4y = 10 \end{cases} $
Аналогично сложим уравнения системы:
$(x - 4y) + (x + 4y) = -2 + 10$
$2x = 8$
$x = 4$
Подставим $x=4$ во второе уравнение $x + 4y = 10$:
$4 + 4y = 10 \implies 4y = 6 \implies y = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1,5$
Получили второе решение: (4; 1,5).
Ответ: $(6; 1)$, $(4; 1,5)$.