Номер 4, страница 50, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

4. Найдите область определения функции

$y = \sqrt{32 + 4x - x^2} + \frac{1}{\sqrt{12 - 4x}}$

Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл. Данная функция $y = \sqrt{32 + 4x - x^2} + \frac{1}{\sqrt{12 - 4x}}$ представляет собой сумму двух слагаемых. Чтобы функция была определена, должны быть определены оба слагаемых одновременно. Это приводит к системе из двух условий:

1. Выражение под первым квадратным корнем должно быть неотрицательным: $32 + 4x - x^2 \ge 0$.

2. Выражение под вторым квадратным корнем, которое находится в знаменателе дроби, должно быть строго положительным: $12 - 4x > 0$.

Решим эту систему неравенств:

$\begin{cases} 32 + 4x - x^2 \ge 0 \\ 12 - 4x > 0 \end{cases}$

Рассмотрим первое неравенство: $32 + 4x - x^2 \ge 0$.

Для удобства умножим обе части на $-1$ и изменим знак неравенства на противоположный:

$x^2 - 4x - 32 \le 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 4x - 32 = 0$. Используя теорему Виета, находим корни: $x_1 = 8$ и $x_2 = -4$.

Графиком функции $f(x) = x^2 - 4x - 32$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, значения функции меньше или равны нулю на промежутке между корнями, включая сами корни.

Решением первого неравенства является отрезок $[-4, 8]$.

Рассмотрим второе неравенство: $12 - 4x > 0$.

Перенесем $4x$ в правую часть:

$12 > 4x$

Разделим обе части на 4:

$3 > x$, что эквивалентно $x < 3$.

Решением второго неравенства является интервал $(-\infty, 3)$.

Область определения исходной функции является пересечением решений обоих неравенств: $[-4, 8] \cap (-\infty, 3)$.

Найдем пересечение этих множеств. Это все числа $x$, которые удовлетворяют условию $-4 \le x < 3$.

Таким образом, область определения функции — это промежуток $[-4, 3)$.

Ответ: $x \in [-4, 3)$.