Номер 3, страница 51, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

3. Решите графически систему уравнений $\begin{cases} x - y = 1, \\ xy = 6. \end{cases}$

Для графического решения системы уравнений необходимо построить графики каждого уравнения в одной системе координат. Координаты точек пересечения этих графиков будут являться решениями системы.

1. Анализ и построение графика первого уравнения $x - y = 1$

Выразим $y$ через $x$, чтобы получить уравнение функции:

$y = x - 1$

Это линейная функция, графиком которой является прямая. Для построения прямой достаточно найти координаты двух любых точек, принадлежащих ей.

• При $x = 0$, $y = 0 - 1 = -1$. Получаем точку $(0, -1)$.
• При $x = 1$, $y = 1 - 1 = 0$. Получаем точку $(1, 0)$.

Проводим прямую через эти две точки.

2. Анализ и построение графика второго уравнения $xy = 6$

Выразим $y$ через $x$, чтобы получить уравнение функции:

$y = \frac{6}{x}$

Это обратная пропорциональность, графиком которой является гипербола. Ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях. Составим таблицу нескольких точек для каждой ветви.

Для первой ветви (I четверть):

• $x = 1, y = 6$
• $x = 2, y = 3$
• $x = 3, y = 2$
• $x = 6, y = 1$

Для второй ветви (III четверть):

• $x = -1, y = -6$
• $x = -2, y = -3$
• $x = -3, y = -2$
• $x = -6, y = -1$

Строим гиперболу по этим точкам.

3. Нахождение решения системы

Построив графики прямой $y = x - 1$ и гиперболы $y = \frac{6}{x}$ в одной системе координат, мы находим точки их пересечения. Из графика видно, что прямая и гипербола пересекаются в двух точках:

• Точка A с координатами $(3, 2)$.
• Точка B с координатами $(-2, -3)$.

Для проверки правильности найденных решений подставим координаты этих точек в исходные уравнения системы.

Проверка для точки $(3, 2)$:

$3 - 2 = 1$ (верно)

$3 \cdot 2 = 6$ (верно)

Проверка для точки $(-2, -3)$:

$-2 - (-3) = -2 + 3 = 1$ (верно)

$(-2) \cdot (-3) = 6$ (верно)

Обе точки удовлетворяют системе уравнений.

Ответ: $(3, 2)$; $(-2, -3)$.