Номер 2, страница 50, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

2. Укажите множество решений неравенства $x^2 - 36 < 0$.

1) $(-\infty; -6)$

2) $(-\infty; 6)$

3) $(-6; 6)$

4) $(-\infty; -6) \cup (6; +\infty)$

Для решения квадратного неравенства $x^2 - 36 < 0$ необходимо найти значения $x$, при которых левая часть меньше нуля. Воспользуемся методом интервалов.

1. Нахождение корней уравнения

Сначала найдем корни соответствующего уравнения, приравняв левую часть к нулю:

$x^2 - 36 = 0$

Это уравнение можно решить двумя способами:

а) Перенесем 36 в правую часть:

$x^2 = 36$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$x_1 = 6$, $x_2 = -6$

б) Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(x - 6)(x + 6) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

$x - 6 = 0 \implies x_1 = 6$

$x + 6 = 0 \implies x_2 = -6$

2. Анализ знаков на числовой прямой

Полученные корни $x=-6$ и $x=6$ делят числовую прямую на три интервала: $(-\infty; -6)$, $(-6; 6)$ и $(6; +\infty)$. Определим знак выражения $x^2 - 36$ на каждом из этих интервалов, подставив в него пробное значение из каждого интервала.

• Интервал $(-\infty; -6)$: возьмем $x = -7$. Тогда $(-7)^2 - 36 = 49 - 36 = 13$. Значение положительное (+).
• Интервал $(-6; 6)$: возьмем $x = 0$. Тогда $0^2 - 36 = -36$. Значение отрицательное (-).
• Интервал $(6; +\infty)$: возьмем $x = 7$. Тогда $7^2 - 36 = 49 - 36 = 13$. Значение положительное (+).

3. Выбор решения

Мы ищем решение неравенства $x^2 - 36 < 0$, то есть те значения $x$, при которых выражение отрицательно. Согласно нашему анализу, это интервал $(-6; 6)$.

Этот результат соответствует варианту ответа под номером 3.

Ответ: 3) $(-6; 6)$