Номер 5, страница 48, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

5. Найдите целые решения системы неравенств

$\begin{cases} x^2 - 3x - 4 \le 0, \\ 2x - 1 < 0. \end{cases}$

Для решения системы неравенств необходимо решить каждое неравенство в отдельности, а затем найти пересечение их множеств решений.

Рассмотрим первое неравенство: $x^2 - 3x - 4 \le 0$.

Чтобы решить это квадратное неравенство, сначала найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 3x - 4 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$.

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - \sqrt{25}}{2} = \frac{3 - 5}{2} = -1$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{25}}{2} = \frac{3 + 5}{2} = 4$

Графиком функции $y = x^2 - 3x - 4$ является парабола, ветви которой направлены вверх (поскольку коэффициент при $x^2$ положителен). Неравенство $x^2 - 3x - 4 \le 0$ выполняется на промежутке между корнями, включая сами корни.

Следовательно, решение первого неравенства: $x \in [-1; 4]$.

Теперь рассмотрим второе неравенство: $2x - 1 < 0$.

Это линейное неравенство. Решим его относительно $x$:

$2x < 1$

$x < \frac{1}{2}$

Решение второго неравенства: $x \in (-\infty; 0.5)$.

Решением системы является пересечение решений обоих неравенств: $x \in [-1; 4] \cap (-\infty; 0.5)$.

Пересечением этих двух множеств является полуинтервал $[-1; 0.5)$.

В задаче требуется найти все целые решения, принадлежащие этому промежутку. Целыми числами в интервале $[-1; 0.5)$ являются -1 и 0.

Ответ: -1; 0.