Номер 2, страница 48, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

2. Укажите множество решений неравенства $x^2 - 64 < 0$.

1) $(-\infty; -8)$

2) $(-\infty; 8)$

3) $(-\infty; -8) \cup (8; +\infty)$

4) $(-8; 8)$

Решение

Требуется найти множество решений для квадратного неравенства $x^2 - 64 < 0$.

Для решения воспользуемся методом интервалов. Сначала приравняем левую часть неравенства к нулю и найдем корни получившегося уравнения:
$x^2 - 64 = 0$

Это уравнение можно решить, разложив левую часть на множители по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:
$x^2 - 8^2 = 0$
$(x - 8)(x + 8) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два корня:
$x - 8 = 0 \Rightarrow x_1 = 8$
$x + 8 = 0 \Rightarrow x_2 = -8$

Нанесем эти точки на числовую ось. Они разделят ось на три интервала: $(-\infty; -8)$, $(-8; 8)$ и $(8; +\infty)$.

Теперь определим знак выражения $x^2 - 64$ на каждом из интервалов, выбрав по одной пробной точке из каждого:
1. Для интервала $(-\infty; -8)$, выберем $x = -10$. Подставим в выражение: $(-10)^2 - 64 = 100 - 64 = 36$. Результат положительный ($+$).
2. Для интервала $(-8; 8)$, выберем $x = 0$. Подставим в выражение: $0^2 - 64 = -64$. Результат отрицательный ($-$).
3. Для интервала $(8; +\infty)$, выберем $x = 10$. Подставим в выражение: $10^2 - 64 = 100 - 64 = 36$. Результат положительный ($+$).

По условию задачи нам нужно найти, где $x^2 - 64 < 0$, то есть где выражение отрицательно. Это соответствует интервалу $(-8; 8)$.

Данный интервал соответствует варианту ответа под номером 4.

Ответ: 4) $(-8; 8)$