Страница 48 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Укажите рисунок, на котором изображено множество решений неравенства $3x - x^2 \ge 0$.

1) На числовой прямой отмечена точка 0 (закрашенная), и область слева от 0 заштрихована.

2) На числовой прямой отмечена точка 3 (закрашенная), и область справа от 3 заштрихована.

3) На числовой прямой отмечены точки 0 и 3 (закрашенные). Области слева от 0 и справа от 3 заштрихованы.

4) На числовой прямой отмечены точки 0 и 3 (закрашенные). Область между 0 и 3 заштрихована.

Для решения квадратного неравенства $3x - x^2 \ge 0$ воспользуемся методом интервалов.
Сначала найдем корни соответствующего уравнения $3x - x^2 = 0$. Для этого вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(3 - x) = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
$x_1 = 0$
$3 - x = 0 \implies x_2 = 3$

Корни уравнения, $0$ и $3$, разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty, 0)$, $(0, 3)$ и $(3, +\infty)$.
Определим знак выражения $3x - x^2$ в каждом из этих интервалов.

• В интервале $(-\infty, 0)$ возьмем пробную точку, например $x = -1$:
  $3(-1) - (-1)^2 = -3 - 1 = -4$. Значение отрицательное.
• В интервале $(0, 3)$ возьмем пробную точку, например $x = 1$:
  $3(1) - (1)^2 = 3 - 1 = 2$. Значение положительное.
• В интервале $(3, +\infty)$ возьмем пробную точку, например $x = 4$:
  $3(4) - (4)^2 = 12 - 16 = -4$. Значение отрицательное.

Также можно проанализировать график функции $y = 3x - x^2$. Это парабола, ветви которой направлены вниз (коэффициент при $x^2$ равен $-1$, что меньше нуля). Парабола пересекает ось абсцисс в точках $x=0$ и $x=3$. Следовательно, значения функции будут неотрицательными ($y \ge 0$) на промежутке между корнями, включая сами корни.

Мы ищем решения неравенства $3x - x^2 \ge 0$, то есть те значения $x$, при которых выражение больше или равно нулю.
Этому условию удовлетворяет промежуток $[0, 3]$. Знак неравенства нестрогий, поэтому точки $0$ и $3$ включаются в решение.

На рисунках представлено графическое изображение множества решений. Наш результат, отрезок $[0, 3]$, соответствует рисунку под номером 4.
Ответ: 4

2. Укажите множество решений неравенства $x^2 - 64 < 0$.

1) $(-\infty; -8)$

2) $(-\infty; 8)$

3) $(-\infty; -8) \cup (8; +\infty)$

4) $(-8; 8)$

Решение

Требуется найти множество решений для квадратного неравенства $x^2 - 64 < 0$.

Для решения воспользуемся методом интервалов. Сначала приравняем левую часть неравенства к нулю и найдем корни получившегося уравнения:
$x^2 - 64 = 0$

Это уравнение можно решить, разложив левую часть на множители по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:
$x^2 - 8^2 = 0$
$(x - 8)(x + 8) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два корня:
$x - 8 = 0 \Rightarrow x_1 = 8$
$x + 8 = 0 \Rightarrow x_2 = -8$

Нанесем эти точки на числовую ось. Они разделят ось на три интервала: $(-\infty; -8)$, $(-8; 8)$ и $(8; +\infty)$.

Теперь определим знак выражения $x^2 - 64$ на каждом из интервалов, выбрав по одной пробной точке из каждого:
1. Для интервала $(-\infty; -8)$, выберем $x = -10$. Подставим в выражение: $(-10)^2 - 64 = 100 - 64 = 36$. Результат положительный ($+$).
2. Для интервала $(-8; 8)$, выберем $x = 0$. Подставим в выражение: $0^2 - 64 = -64$. Результат отрицательный ($-$).
3. Для интервала $(8; +\infty)$, выберем $x = 10$. Подставим в выражение: $10^2 - 64 = 100 - 64 = 36$. Результат положительный ($+$).

По условию задачи нам нужно найти, где $x^2 - 64 < 0$, то есть где выражение отрицательно. Это соответствует интервалу $(-8; 8)$.

Данный интервал соответствует варианту ответа под номером 4.

Ответ: 4) $(-8; 8)$

3. Решите неравенство:

1) $x^2 + 8x - 9 < 0;$

2) $2x^2 - 6x + 5 > 0;$

3) $(2x + 3)^2 \geq (x + 2)(x - 8) + 10.$

1) $x^2 + 8x - 9 < 0$

Для решения этого квадратного неравенства сначала найдем корни соответствующего уравнения $x^2 + 8x - 9 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100 = 10^2$.

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 - 10}{2} = -9$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 + 10}{2} = 1$

Графиком функции $y = x^2 + 8x - 9$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$). Неравенство $x^2 + 8x - 9 < 0$ выполняется, когда парабола находится ниже оси Ox, то есть между корнями.

Следовательно, решение неравенства: $-9 < x < 1$.

Ответ: $(-9; 1)$.

2) $2x^2 - 6x + 5 > 0$

Рассмотрим соответствующее квадратное уравнение $2x^2 - 6x + 5 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 36 - 40 = -4$.

Поскольку дискриминант $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что график функции $y = 2x^2 - 6x + 5$ (парабола) не пересекает ось Ox.

Коэффициент при $x^2$ равен 2, что больше нуля ($a=2 > 0$), поэтому ветви параболы направлены вверх. Это означает, что вся парабола расположена выше оси Ox.

Следовательно, выражение $2x^2 - 6x + 5$ положительно при любых действительных значениях $x$.

Ответ: $(-\infty; +\infty)$.

3) $(2x + 3)^2 \geq (x + 2)(x - 8) + 10$

Сначала упростим неравенство. Раскроем скобки в обеих частях.

Левая часть: $(2x + 3)^2 = (2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot 3 + 3^2 = 4x^2 + 12x + 9$.

Правая часть: $(x + 2)(x - 8) + 10 = (x^2 - 8x + 2x - 16) + 10 = x^2 - 6x - 6$.

Неравенство принимает вид: $4x^2 + 12x + 9 \geq x^2 - 6x - 6$.

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые:

$(4x^2 - x^2) + (12x + 6x) + (9 + 6) \geq 0$

$3x^2 + 18x + 15 \geq 0$

Разделим обе части неравенства на 3 (знак неравенства не изменится):

$x^2 + 6x + 5 \geq 0$

Теперь решим это квадратное неравенство. Найдем корни уравнения $x^2 + 6x + 5 = 0$.

По теореме Виета, корни $x_1 = -5$ и $x_2 = -1$ (так как $x_1 + x_2 = -5 + (-1) = -6$ и $x_1 \cdot x_2 = (-5) \cdot (-1) = 5$).

Графиком функции $y = x^2 + 6x + 5$ является парабола с ветвями вверх ($a=1 > 0$). Неравенство $x^2 + 6x + 5 \geq 0$ выполняется, когда парабола находится на оси Ox или выше нее. Это происходит на участках левее меньшего корня и правее большего корня, включая сами корни.

Таким образом, решение: $x \leq -5$ или $x \geq -1$.

Ответ: $(-\infty; -5] \cup [-1; +\infty)$.

4. Найдите область определения функции

$y = \frac{1}{\sqrt{28 + 3x - x^2}} + \frac{1}{x - 5}.$

Область определения функции (ОДЗ) — это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл. Данная функция является суммой двух дробей, поэтому для нахождения ее области определения необходимо, чтобы знаменатель каждой дроби не был равен нулю, а подкоренное выражение было неотрицательным.

Рассмотрим два условия, которые должны выполняться одновременно:

1. Для первого слагаемого $\frac{1}{\sqrt{28 + 3x - x^2}}$ знаменатель не должен быть равен нулю, а подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Объединяя эти два требования, получаем, что подкоренное выражение должно быть строго больше нуля:

$28 + 3x - x^2 > 0$

Для решения этого квадратного неравенства умножим его на $-1$ и изменим знак неравенства на противоположный:

$x^2 - 3x - 28 < 0$

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 3x - 28 = 0$. Воспользуемся формулой для корней квадратного уравнения:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-28) = 9 + 112 = 121 = 11^2$

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 11}{2} = -4$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 11}{2} = 7$

Так как мы решаем неравенство $x^2 - 3x - 28 < 0$, и ветви параболы направлены вверх, решением является интервал между корнями: $x \in (-4; 7)$.

2. Для второго слагаемого $\frac{1}{x - 5}$ знаменатель не должен быть равен нулю:

$x - 5 \neq 0$

$x \neq 5$

Область определения исходной функции — это пересечение множеств, удовлетворяющих обоим условиям. Таким образом, мы должны найти все значения $x$ из интервала $(-4; 7)$, которые не равны 5.

$\begin{cases} -4 < x < 7 \\ x \neq 5 \end{cases}$

Исключая точку $x = 5$ из интервала $(-4; 7)$, получаем объединение двух интервалов: $(-4; 5)$ и $(5; 7)$.

Ответ: $x \in (-4; 5) \cup (5; 7)$

5. Найдите целые решения системы неравенств

$\begin{cases} x^2 - 3x - 4 \le 0, \\ 2x - 1 < 0. \end{cases}$

Для решения системы неравенств необходимо решить каждое неравенство в отдельности, а затем найти пересечение их множеств решений.

Рассмотрим первое неравенство: $x^2 - 3x - 4 \le 0$.

Чтобы решить это квадратное неравенство, сначала найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 3x - 4 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$.

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - \sqrt{25}}{2} = \frac{3 - 5}{2} = -1$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{25}}{2} = \frac{3 + 5}{2} = 4$

Графиком функции $y = x^2 - 3x - 4$ является парабола, ветви которой направлены вверх (поскольку коэффициент при $x^2$ положителен). Неравенство $x^2 - 3x - 4 \le 0$ выполняется на промежутке между корнями, включая сами корни.

Следовательно, решение первого неравенства: $x \in [-1; 4]$.

Теперь рассмотрим второе неравенство: $2x - 1 < 0$.

Это линейное неравенство. Решим его относительно $x$:

$2x < 1$

$x < \frac{1}{2}$

Решение второго неравенства: $x \in (-\infty; 0.5)$.

Решением системы является пересечение решений обоих неравенств: $x \in [-1; 4] \cap (-\infty; 0.5)$.

Пересечением этих двух множеств является полуинтервал $[-1; 0.5)$.

В задаче требуется найти все целые решения, принадлежащие этому промежутку. Целыми числами в интервале $[-1; 0.5)$ являются -1 и 0.

Ответ: -1; 0.