Страница 46 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Чему равна абсцисса вершины параболы

$y = -6x^2 - 2x + 11?$

1) 2

2) -2

3) $\frac{1}{6}$

4) $-\frac{1}{6}$

Абсцисса вершины параболы, заданной уравнением вида $y = ax^2 + bx + c$, находится по формуле:

$x_0 = -\frac{b}{2a}$

В уравнении параболы $y = -6x^2 - 2x + 11$ коэффициенты равны: $a = -6$, $b = -2$.

Подставим значения коэффициентов в формулу:

$x_0 = -\frac{-2}{2 \cdot (-6)} = -\frac{-2}{-12}$

Упростим выражение:

$x_0 = -(\frac{2}{12}) = -\frac{1}{6}$

Следовательно, абсцисса вершины параболы равна $-\frac{1}{6}$.

Ответ: $-\frac{1}{6}$

2. На рисунке 18 изображён график квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$.

Укажите верное утверждение.

1) $a > 0, c > 0$

2) $a < 0, c > 0$

3) $a > 0, c < 0$

4) $a < 0, c < 0$

Рис. 18

Для определения верного утверждения о знаках коэффициентов квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$ проанализируем её график.

1. Знак коэффициента $a$. Коэффициент $a$ определяет направление ветвей параболы. Если $a > 0$, ветви параболы направлены вверх. Если $a < 0$, ветви направлены вниз. На данном графике ветви параболы направлены вверх, следовательно, $a > 0$.

2. Знак коэффициента $c$. Коэффициент $c$ — это значение функции при $x=0$, то есть ордината точки пересечения графика с осью $y$. Чтобы найти эту точку, подставим $x=0$ в уравнение функции: $y(0) = a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c = c$. На графике видно, что парабола пересекает ось $y$ ниже оси $x$, то есть в точке с отрицательной ординатой. Следовательно, $c < 0$.

Таким образом, мы получили, что для данной функции выполняются неравенства $a > 0$ и $c < 0$. Это соответствует варианту ответа под номером 3.

Ответ: 3

3. Постройте график функции $f(x) = 6 + x - x^2$. Используя график, найдите:

1) область значений данной функции;

2) промежуток возрастания и промежуток убывания функции;

3) при каких значениях аргумента функция принимает положительные значения, а при каких — отрицательные.

Для построения графика функции $f(x) = 6 + x - x^2$ и анализа ее свойств, выполним следующие шаги.

Данная функция является квадратичной. Запишем ее в стандартном виде: $f(x) = -x^2 + x + 6$. Графиком этой функции является парабола.

Построение графика

1. Направление ветвей параболы.
   Коэффициент при $x^2$ равен $a = -1$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.
2. Координаты вершины параболы.
   Абсцисса (координата $x$) вершины находится по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$. Для нашей функции $a = -1$ и $b = 1$.
   $x_0 = -\frac{1}{2(-1)} = \frac{1}{2} = 0.5$.
   Ордината (координата $y$) вершины находится подстановкой $x_0$ в уравнение функции:
   $y_0 = f(0.5) = -(0.5)^2 + 0.5 + 6 = -0.25 + 0.5 + 6 = 6.25$.
   Таким образом, вершина параболы находится в точке $(0.5; 6.25)$.
3. Точки пересечения с осями координат.
   С осью Oy:
   Для нахождения точки пересечения с осью ординат, подставим $x = 0$ в функцию:
   $f(0) = -0^2 + 0 + 6 = 6$.
   Точка пересечения с осью Oy: $(0; 6)$.
   С осью Ox (нули функции):
   Для нахождения точек пересечения с осью абсцисс, решим уравнение $f(x) = 0$:
   $-x^2 + x + 6 = 0$
   Умножим обе части на -1, чтобы упростить решение:
   $x^2 - x - 6 = 0$
   Найдем корни, используя теорему Виета или дискриминант. По теореме Виета, сумма корней равна 1, а произведение равно -6. Корнями являются $x_1 = 3$ и $x_2 = -2$.
   Точки пересечения с осью Ox: $(-2; 0)$ и $(3; 0)$.
4. Построение графика.
   На координатной плоскости отметим найденные точки: вершину $(0.5; 6.25)$, точки пересечения с осями $(-2; 0)$, $(3; 0)$, $(0; 6)$. Также можно отметить точку $(1; 6)$, симметричную точке $(0; 6)$ относительно оси симметрии параболы $x=0.5$. Соединим эти точки плавной кривой, чтобы получить параболу.

Используя построенный график, ответим на поставленные вопросы.

1) область значений данной функции;

Область значений функции — это все возможные значения, которые может принимать $y$. Поскольку ветви параболы направлены вниз, ее наивысшая точка — это вершина с ординатой $y_0 = 6.25$. Следовательно, функция принимает все значения от $-\infty$ до $6.25$ включительно.
Ответ: $E(f) = (-\infty; 6.25]$.

2) промежуток возрастания и промежуток убывания функции;

Функция возрастает на том интервале, где ее график идет вверх при движении слева направо, и убывает, где график идет вниз. Точкой изменения характера монотонности является вершина параболы, где $x = 0.5$.
Функция возрастает на промежутке до вершины.
Функция убывает на промежутке после вершины.
Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; 0.5]$ и убывает на промежутке $[0.5; +\infty)$.

3) при каких значениях аргумента функция принимает положительные значения, а при каких — отрицательные.

Функция принимает положительные значения ($f(x) > 0$) там, где ее график расположен выше оси Ox. Это происходит между корнями функции, то есть между $x = -2$ и $x = 3$.
Функция принимает отрицательные значения ($f(x) < 0$) там, где ее график расположен ниже оси Ox. Это происходит левее корня $x = -2$ и правее корня $x = 3$.
Ответ: функция принимает положительные значения при $x \in (-2; 3)$; функция принимает отрицательные значения при $x \in (-\infty; -2) \cup (3; +\infty)$.

4. При каком значении $b$ промежуток $[-3; +\infty)$ является промежутком убывания функции $y = -3x^2 + bx - 2$?

Заданная функция $y = -3x^2 + bx - 2$ является квадратичной. Графиком квадратичной функции является парабола.

Коэффициент при $x^2$ равен -3, то есть $a = -3$. Поскольку $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.

Для параболы, ветви которой направлены вниз, функция возрастает до своей вершины и убывает после нее. Промежуток убывания такой функции имеет вид $[x_0; +\infty)$, где $x_0$ — это абсцисса (координата по оси x) вершины параболы.

Абсцисса вершины параболы $y = ax^2 + bx + c$ находится по формуле: $x_0 = -\frac{b}{2a}$

В нашем случае, для функции $y = -3x^2 + bx - 2$, коэффициенты равны: $a = -3$ и $b = b$. Подставим их в формулу для нахождения абсциссы вершины: $x_0 = -\frac{b}{2 \cdot (-3)} = -\frac{b}{-6} = \frac{b}{6}$

Следовательно, промежуток убывания данной функции — это $[\frac{b}{6}; +\infty)$.

По условию задачи, промежуток убывания должен быть $[-3; +\infty)$. Чтобы это равенство выполнялось, абсцисса вершины параболы $x_0$ должна быть равна -3.

Составим и решим уравнение: $\frac{b}{6} = -3$

Умножим обе части уравнения на 6, чтобы найти $b$: $b = -3 \cdot 6$ $b = -18$

Ответ: -18