Страница 52 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. На рисунке 20 изображены графики уравнений $y = x^2 - 1$, $x + y = 0$, $x + y = 3$, $x + 3 = 0$, $y + 3 = 0$.

Используя этот рисунок, укажите систему уравнений, не имеющую решений.

1) $\begin{cases} y = x^2 - 1 \\ x + 3 = 0 \end{cases}$

2) $\begin{cases} y = x^2 - 1 \\ x + y = 0 \end{cases}$

3) $\begin{cases} y = x^2 - 1 \\ x + y = 3 \end{cases}$

4) $\begin{cases} y = x^2 - 1 \\ y + 3 = 0 \end{cases}$

Рис. 20

Чтобы найти систему уравнений, не имеющую решений, необходимо найти пару графиков, которые не пересекаются. Графическое решение системы уравнений — это точки пересечения графиков этих уравнений.

В каждой системе дано уравнение параболы $y = x^2 - 1$. График этой параболы имеет вершину в точке $(0; -1)$, а ветви направлены вверх. Это означает, что наименьшее значение, которое может принимать $y$, равно $-1$.

1) $\begin{cases} y = x^2 - 1, \\ x + 3 = 0 \end{cases}$

Второе уравнение системы можно представить как $x = -3$. Это вертикальная прямая. Подставив $x = -3$ в уравнение параболы, получим: $y = (-3)^2 - 1 = 9 - 1 = 8$. Графики пересекаются в точке $(-3; 8)$, следовательно, система имеет решение.

Ответ: система имеет решение.

2) $\begin{cases} y = x^2 - 1, \\ x + y = 0 \end{cases}$

Второе уравнение системы можно представить как $y = -x$. Из рисунка 20 видно, что эта прямая пересекает параболу в двух точках. Следовательно, система имеет решения.

Ответ: система имеет решения.

3) $\begin{cases} y = x^2 - 1, \\ x + y = 3 \end{cases}$

Второе уравнение системы можно представить как $y = 3 - x$. Из рисунка 20 видно, что эта прямая также пересекает параболу в двух точках. Следовательно, система имеет решения.

Ответ: система имеет решения.

4) $\begin{cases} y = x^2 - 1, \\ y + 3 = 0 \end{cases}$

Второе уравнение системы можно представить как $y = -3$. Это горизонтальная прямая. Поскольку наименьшее значение $y$ для параболы равно $-1$, а все точки прямой имеют координату $y = -3$, то прямая расположена ниже параболы и не пересекает её. Алгебраическая проверка: подставим $y = -3$ в первое уравнение. Получим $-3 = x^2 - 1$, откуда $x^2 = -2$. Это уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, система не имеет решений.

Ответ: система не имеет решений.

Таким образом, система уравнений, не имеющая решений, указана под номером 4.

Ответ: 4

2. Укажите решения системы уравнений $\begin{cases} x + y = 2, \\ x^2 - xy = 12. \end{cases}$

1) $(-1; 3)$, $(4; -2)$

2) $(3; -1)$, $(4; -2)$

3) $(3; -1)$, $(-2; 4)$

4) $(-1; 3)$, $(-2; 4)$

Для решения данной системы уравнений воспользуемся методом подстановки.

Исходная система:

$ \begin{cases} x + y = 2, \\ x^2 - xy = 12. \end{cases} $

1. Выражение одной переменной через другую

Из первого, более простого уравнения системы выразим переменную $y$ через $x$:

$y = 2 - x$

2. Подстановка и решение уравнения

Теперь подставим полученное выражение для $y$ во второе уравнение системы:

$x^2 - x(2 - x) = 12$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 2x + x^2 = 12$

$2x^2 - 2x - 12 = 0$

Для удобства вычислений разделим все члены уравнения на 2:

$x^2 - x - 6 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня:

$x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 5}{2} = 3$

$x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 5}{2} = -2$

3. Нахождение второй переменной

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого найденного значения $x$, используя ранее выведенную формулу $y = 2 - x$.

Если $x_1 = 3$, то $y_1 = 2 - 3 = -1$.

Таким образом, первая пара решений: $(3; -1)$.

Если $x_2 = -2$, то $y_2 = 2 - (-2) = 2 + 2 = 4$.

Таким образом, вторая пара решений: $(-2; 4)$.

4. Выбор ответа

Мы получили два решения системы уравнений: $(3; -1)$ и $(-2; 4)$. Сравнивая этот результат с предложенными вариантами, мы видим, что он совпадает с вариантом ответа под номером 3.

Ответ: 3) (3; –1), (–2; 4)

3. Решите графически систему уравнений $ \begin{cases} x - y = 3, \\ xy = 4. \end{cases} $

Для того чтобы решить систему уравнений графическим методом, необходимо построить на одной координатной плоскости графики функций, соответствующих каждому уравнению. Координаты точек пересечения этих графиков и будут являться решением системы.

Рассмотрим данную систему уравнений:

$$ \begin{cases} x - y = 3 \\ xy = 4 \end{cases} $$

Для построения графиков выразим переменную $y$ в каждом уравнении:

$$ \begin{cases} y = x - 3 \\ y = \frac{4}{x} \end{cases} $$

1. Построим график первого уравнения $y = x - 3$.

Это линейная функция, графиком которой является прямая. Для ее построения достаточно определить координаты двух любых точек. Составим таблицу:

Прямая проходит через точки с координатами $(0, -3)$ и $(3, 0)$.

2. Построим график второго уравнения $y = \frac{4}{x}$.

Это функция обратной пропорциональности, графиком которой является гипербола. Ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях. Для более точного построения составим таблицу значений:

3. Нахождение решения.

Построив графики прямой $y = x - 3$ и гиперболы $y = \frac{4}{x}$ в одной системе координат, найдем их точки пересечения. По графикам видно, что они пересекаются в двух точках. Координаты этих точек:

$(4, 1)$ и $(-1, -4)$.

Эти пары чисел и являются решением данной системы уравнений.

Ответ: $(4, 1)$, $(-1, -4)$.

4. Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} 3x - y = 5, \\ 3x^2 + y^2 = 13; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x^2 + 4xy + 4y^2 = 9, \\ x - 2y = 7. \end{cases}$

1) Рассмотрим систему уравнений: $ \begin{cases} 3x - y = 5, \\ 3x^2 + y^2 = 13. \end{cases} $
Это система, состоящая из линейного и квадратного уравнений. Решим ее методом подстановки.
Из первого уравнения выразим $y$ через $x$:
$y = 3x - 5$.
Подставим это выражение во второе уравнение системы:
$3x^2 + (3x - 5)^2 = 13$.
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$3x^2 + (9x^2 - 30x + 25) = 13$
$12x^2 - 30x + 25 - 13 = 0$
$12x^2 - 30x + 12 = 0$.
Разделим обе части уравнения на 6, чтобы упростить его:
$2x^2 - 5x + 2 = 0$.
Теперь решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$.
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
Теперь найдем соответствующие значения $y$, используя формулу $y = 3x - 5$:
Если $x_1 = 2$, то $y_1 = 3 \cdot 2 - 5 = 6 - 5 = 1$.
Если $x_2 = \frac{1}{2}$, то $y_2 = 3 \cdot \frac{1}{2} - 5 = \frac{3}{2} - \frac{10}{2} = -\frac{7}{2}$.
Таким образом, система имеет два решения.
Ответ: $(2; 1), (\frac{1}{2}; -\frac{7}{2})$.

2) Рассмотрим систему уравнений: $ \begin{cases} x^2 + 4xy + 4y^2 = 9, \\ x - 2y = 7. \end{cases} $
Заметим, что левая часть первого уравнения представляет собой полный квадрат суммы:
$x^2 + 4xy + 4y^2 = (x + 2y)^2$.
Тогда первое уравнение можно переписать в виде:
$(x + 2y)^2 = 9$.
Отсюда следует, что:
$x + 2y = 3$ или $x + 2y = -3$.
Теперь исходная система распадается на две системы линейных уравнений:

Первая система:
$ \begin{cases} x + 2y = 3, \\ x - 2y = 7. \end{cases} $
Сложим два уравнения системы:
$(x + 2y) + (x - 2y) = 3 + 7$
$2x = 10$
$x = 5$.
Подставим значение $x$ в первое уравнение этой системы:
$5 + 2y = 3$
$2y = 3 - 5$
$2y = -2$
$y = -1$.
Первое решение: $(5; -1)$.

Вторая система:
$ \begin{cases} x + 2y = -3, \\ x - 2y = 7. \end{cases} $
Сложим два уравнения системы:
$(x + 2y) + (x - 2y) = -3 + 7$
$2x = 4$
$x = 2$.
Подставим значение $x$ в первое уравнение этой системы:
$2 + 2y = -3$
$2y = -3 - 2$
$2y = -5$
$y = -\frac{5}{2}$.
Второе решение: $(2; -\frac{5}{2})$.
Таким образом, исходная система имеет два решения.
Ответ: $(5; -1), (2; -\frac{5}{2})$.