Номер 4, страница 52, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

4. Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} 3x - y = 5, \\ 3x^2 + y^2 = 13; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x^2 + 4xy + 4y^2 = 9, \\ x - 2y = 7. \end{cases}$

1) Рассмотрим систему уравнений: $ \begin{cases} 3x - y = 5, \\ 3x^2 + y^2 = 13. \end{cases} $
Это система, состоящая из линейного и квадратного уравнений. Решим ее методом подстановки.
Из первого уравнения выразим $y$ через $x$:
$y = 3x - 5$.
Подставим это выражение во второе уравнение системы:
$3x^2 + (3x - 5)^2 = 13$.
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$3x^2 + (9x^2 - 30x + 25) = 13$
$12x^2 - 30x + 25 - 13 = 0$
$12x^2 - 30x + 12 = 0$.
Разделим обе части уравнения на 6, чтобы упростить его:
$2x^2 - 5x + 2 = 0$.
Теперь решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$.
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
Теперь найдем соответствующие значения $y$, используя формулу $y = 3x - 5$:
Если $x_1 = 2$, то $y_1 = 3 \cdot 2 - 5 = 6 - 5 = 1$.
Если $x_2 = \frac{1}{2}$, то $y_2 = 3 \cdot \frac{1}{2} - 5 = \frac{3}{2} - \frac{10}{2} = -\frac{7}{2}$.
Таким образом, система имеет два решения.
Ответ: $(2; 1), (\frac{1}{2}; -\frac{7}{2})$.

2) Рассмотрим систему уравнений: $ \begin{cases} x^2 + 4xy + 4y^2 = 9, \\ x - 2y = 7. \end{cases} $
Заметим, что левая часть первого уравнения представляет собой полный квадрат суммы:
$x^2 + 4xy + 4y^2 = (x + 2y)^2$.
Тогда первое уравнение можно переписать в виде:
$(x + 2y)^2 = 9$.
Отсюда следует, что:
$x + 2y = 3$ или $x + 2y = -3$.
Теперь исходная система распадается на две системы линейных уравнений:

Первая система:
$ \begin{cases} x + 2y = 3, \\ x - 2y = 7. \end{cases} $
Сложим два уравнения системы:
$(x + 2y) + (x - 2y) = 3 + 7$
$2x = 10$
$x = 5$.
Подставим значение $x$ в первое уравнение этой системы:
$5 + 2y = 3$
$2y = 3 - 5$
$2y = -2$
$y = -1$.
Первое решение: $(5; -1)$.

Вторая система:
$ \begin{cases} x + 2y = -3, \\ x - 2y = 7. \end{cases} $
Сложим два уравнения системы:
$(x + 2y) + (x - 2y) = -3 + 7$
$2x = 4$
$x = 2$.
Подставим значение $x$ в первое уравнение этой системы:
$2 + 2y = -3$
$2y = -3 - 2$
$2y = -5$
$y = -\frac{5}{2}$.
Второе решение: $(2; -\frac{5}{2})$.
Таким образом, исходная система имеет два решения.
Ответ: $(5; -1), (2; -\frac{5}{2})$.