Номер 4, страница 53, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

4. Решите систему уравнений:

1)$\begin{cases} 2x + 5xy = 14, \\ y - 5xy = -9; \end{cases}$

2)$\begin{cases} \frac{x}{y} - \frac{y}{x} = -\frac{8}{3}, \\ 4y - 3x = 13. \end{cases}$

1)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 2x + 5xy = 14, \\ y - 5xy = -9. \end{cases} $$

Для решения этой системы удобно использовать метод сложения. Сложим левые и правые части обоих уравнений:

$(2x + 5xy) + (y - 5xy) = 14 + (-9)$

Члены $5xy$ и $-5xy$ взаимно уничтожаются:

$2x + y = 5$

Из этого простого линейного уравнения выразим переменную $y$ через $x$:

$y = 5 - 2x$

Теперь подставим полученное выражение для $y$ в любое из исходных уравнений. Возьмем первое уравнение $2x + 5xy = 14$:

$2x + 5x(5 - 2x) = 14$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, чтобы получить квадратное уравнение:

$2x + 25x - 10x^2 = 14$

$-10x^2 + 27x - 14 = 0$

Умножим уравнение на $-1$ для удобства:

$10x^2 - 27x + 14 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-27)^2 - 4 \cdot 10 \cdot 14 = 729 - 560 = 169 = 13^2$

Найдем корни уравнения для $x$:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{27 + 13}{2 \cdot 10} = \frac{40}{20} = 2$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{27 - 13}{2 \cdot 10} = \frac{14}{20} = \frac{7}{10}$

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого найденного $x$, используя выражение $y = 5 - 2x$:

Для $x_1 = 2$:

$y_1 = 5 - 2 \cdot 2 = 5 - 4 = 1$

Для $x_2 = \frac{7}{10}$:

$y_2 = 5 - 2 \cdot \frac{7}{10} = 5 - \frac{14}{10} = 5 - \frac{7}{5} = \frac{25 - 7}{5} = \frac{18}{5}$

Таким образом, мы получили две пары решений.

Ответ: $(2; 1)$, $(\frac{7}{10}; \frac{18}{5})$.

2)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{x}{y} - \frac{y}{x} = -\frac{8}{3}, \\ 4y - 3x = 13. \end{cases} $$

Сначала определим область допустимых значений: из первого уравнения следует, что $x \neq 0$ и $y \neq 0$.

Преобразуем первое уравнение. Приведем левую часть к общему знаменателю $xy$:

$\frac{x \cdot x - y \cdot y}{xy} = -\frac{8}{3}$

$\frac{x^2 - y^2}{xy} = -\frac{8}{3}$

По свойству пропорции получаем:

$3(x^2 - y^2) = -8xy$

$3x^2 - 3y^2 = -8xy$

$3x^2 + 8xy - 3y^2 = 0$

Полученное уравнение является однородным уравнением второй степени. Разделим обе его части на $y^2$ (мы знаем, что $y \neq 0$):

$3\frac{x^2}{y^2} + 8\frac{xy}{y^2} - 3\frac{y^2}{y^2} = 0$

$3(\frac{x}{y})^2 + 8(\frac{x}{y}) - 3 = 0$

Введем новую переменную $t = \frac{x}{y}$. Уравнение примет вид:

$3t^2 + 8t - 3 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $t$ через дискриминант:

$D = 8^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100 = 10^2$

$t_1 = \frac{-8 + 10}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

$t_2 = \frac{-8 - 10}{2 \cdot 3} = \frac{-18}{6} = -3$

Теперь вернемся к исходным переменным. Рассмотрим два случая:

Случай 1: $\frac{x}{y} = t_1 = \frac{1}{3}$.

Отсюда $y = 3x$. Подставим это соотношение во второе уравнение системы $4y - 3x = 13$:

$4(3x) - 3x = 13$

$12x - 3x = 13$

$9x = 13 \implies x = \frac{13}{9}$

Найдем соответствующий $y$: $y = 3x = 3 \cdot \frac{13}{9} = \frac{13}{3}$.

Первое решение: $(\frac{13}{9}; \frac{13}{3})$.

Случай 2: $\frac{x}{y} = t_2 = -3$.

Отсюда $x = -3y$. Подставим это соотношение во второе уравнение системы $4y - 3x = 13$:

$4y - 3(-3y) = 13$

$4y + 9y = 13$

$13y = 13 \implies y = 1$

Найдем соответствующий $x$: $x = -3y = -3 \cdot 1 = -3$.

Второе решение: $(-3; 1)$.

Ответ: $(\frac{13}{9}; \frac{13}{3})$, $(-3; 1)$.