Номер 2, страница 55, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

2. Катер проходит 12 км против течения реки и 15 км по течению вместе за 1 ч, а 30 км по течению он же проходит на 30 мин быстрее, чем 36 км против течения.

Пусть скорость катера против течения реки равна $x$ км/ч, а скорость по течению — $y$ км/ч. Какая из данных систем уравнений является математической моделью ситуации, описанной в условии?

1) $\begin{cases} \frac{12}{x} + \frac{15}{y} = 1 \\ \frac{36}{x} - \frac{30}{y} = 0,5 \end{cases}$

2) $\begin{cases} \frac{12}{x} + \frac{15}{y} = 1 \\ \frac{36}{x} - \frac{30}{y} = 30 \end{cases}$

3) $\begin{cases} \frac{12}{x} + \frac{15}{y} = 1 \\ \frac{30}{y} - \frac{36}{x} = 0,5 \end{cases}$

4) $\begin{cases} \frac{12}{x} + \frac{15}{y} = 1 \\ \frac{30}{y} - \frac{36}{x} = 30 \end{cases}$

Для решения задачи составим систему уравнений, основываясь на данных условия. Пусть $x$ км/ч — скорость катера против течения, а $y$ км/ч — скорость катера по течению. Воспользуемся основной формулой для нахождения времени: $t = \frac{S}{v}$, где $S$ — расстояние, а $v$ — скорость.

Составление первого уравнения
Катер проходит 12 км против течения и 15 км по течению. Время, затраченное на путь против течения, составляет $\frac{12}{x}$ часов. Время, затраченное на путь по течению, составляет $\frac{15}{y}$ часов. По условию, общее время на этот путь равно 1 часу. Таким образом, мы можем составить первое уравнение: $$ \frac{12}{x} + \frac{15}{y} = 1 $$

Составление второго уравнения
Катер проходит 30 км по течению на 30 минут быстрее, чем 36 км против течения. Сначала переведем 30 минут в часы: $30 \text{ мин} = 0,5 \text{ часа}$.
Время, затраченное на 30 км по течению, равно $\frac{30}{y}$ часов.
Время, затраченное на 36 км против течения, равно $\frac{36}{x}$ часов.
Поскольку путь по течению был пройден быстрее, время, затраченное на него, меньше. Значит, из большего времени (путь против течения) нужно вычесть меньшее (путь по течению), чтобы получить разницу в 0,5 часа. Второе уравнение будет выглядеть так: $$ \frac{36}{x} - \frac{30}{y} = 0,5 $$

Формирование системы уравнений
Объединим оба уравнения в систему: $$ \begin{cases} \frac{12}{x} + \frac{15}{y} = 1, \\ \frac{36}{x} - \frac{30}{y} = 0,5 \end{cases} $$ Эта система соответствует варианту ответа под номером 1.

Ответ: 1