Страница 55 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Планировали посадить в парке 90 новых кустов роз за определённый срок. Однако ежедневно высаживали на 8 кустов больше, чем планировалось, поэтому посадка роз была закончена на 4 дня раньше.

Пусть планировали высаживать ежедневно по $x$ кустов роз. Какое из данных уравнений является математической моделью ситуации, описанной в условии?

1) $\frac{90}{x+8} - \frac{90}{x} = 4$

2) $\frac{90}{x} - \frac{90}{x+8} = 4$

3) $\frac{90}{x} - \frac{90}{x-8} = 4$

4) $\frac{90}{x-8} - \frac{90}{x} = 4$

Для решения задачи необходимо составить уравнение, описывающее данную ситуацию. Обозначим переменные и выразим через них величины, указанные в условии.

Пусть $x$ — количество кустов роз, которое планировали высаживать ежедневно.
Общее количество кустов, которое нужно было посадить, — 90.
Тогда время, за которое планировали выполнить всю работу, равно:
$T_{план} = \frac{90}{x}$ дней.

По условию, ежедневно высаживали на 8 кустов больше, чем планировалось. Следовательно, фактическое количество кустов, высаживаемых ежедневно, составляет:
$x + 8$ кустов.
Тогда фактическое время, за которое была выполнена вся работа, равно:
$T_{факт} = \frac{90}{x+8}$ дней.

В задаче сказано, что посадка была закончена на 4 дня раньше запланированного срока. Это означает, что планируемое время на 4 дня больше, чем фактическое время. Математически это можно записать в виде разности:
$T_{план} - T_{факт} = 4$

Подставим в это равенство полученные выражения для времени:
$\frac{90}{x} - \frac{90}{x+8} = 4$

Сравним полученное уравнение с предложенными вариантами. Оно в точности соответствует уравнению, указанному под номером 2.

Ответ: 2) $\frac{90}{x} - \frac{90}{x+8} = 4$

2. Катер проходит 12 км против течения реки и 15 км по течению вместе за 1 ч, а 30 км по течению он же проходит на 30 мин быстрее, чем 36 км против течения.

Пусть скорость катера против течения реки равна $x$ км/ч, а скорость по течению — $y$ км/ч. Какая из данных систем уравнений является математической моделью ситуации, описанной в условии?

1) $\begin{cases} \frac{12}{x} + \frac{15}{y} = 1 \\ \frac{36}{x} - \frac{30}{y} = 0,5 \end{cases}$

2) $\begin{cases} \frac{12}{x} + \frac{15}{y} = 1 \\ \frac{36}{x} - \frac{30}{y} = 30 \end{cases}$

3) $\begin{cases} \frac{12}{x} + \frac{15}{y} = 1 \\ \frac{30}{y} - \frac{36}{x} = 0,5 \end{cases}$

4) $\begin{cases} \frac{12}{x} + \frac{15}{y} = 1 \\ \frac{30}{y} - \frac{36}{x} = 30 \end{cases}$

Для решения задачи составим систему уравнений, основываясь на данных условия. Пусть $x$ км/ч — скорость катера против течения, а $y$ км/ч — скорость катера по течению. Воспользуемся основной формулой для нахождения времени: $t = \frac{S}{v}$, где $S$ — расстояние, а $v$ — скорость.

Составление первого уравнения
Катер проходит 12 км против течения и 15 км по течению. Время, затраченное на путь против течения, составляет $\frac{12}{x}$ часов. Время, затраченное на путь по течению, составляет $\frac{15}{y}$ часов. По условию, общее время на этот путь равно 1 часу. Таким образом, мы можем составить первое уравнение: $$ \frac{12}{x} + \frac{15}{y} = 1 $$

Составление второго уравнения
Катер проходит 30 км по течению на 30 минут быстрее, чем 36 км против течения. Сначала переведем 30 минут в часы: $30 \text{ мин} = 0,5 \text{ часа}$.
Время, затраченное на 30 км по течению, равно $\frac{30}{y}$ часов.
Время, затраченное на 36 км против течения, равно $\frac{36}{x}$ часов.
Поскольку путь по течению был пройден быстрее, время, затраченное на него, меньше. Значит, из большего времени (путь против течения) нужно вычесть меньшее (путь по течению), чтобы получить разницу в 0,5 часа. Второе уравнение будет выглядеть так: $$ \frac{36}{x} - \frac{30}{y} = 0,5 $$

Формирование системы уравнений
Объединим оба уравнения в систему: $$ \begin{cases} \frac{12}{x} + \frac{15}{y} = 1, \\ \frac{36}{x} - \frac{30}{y} = 0,5 \end{cases} $$ Эта система соответствует варианту ответа под номером 1.

Ответ: 1

3. Прямоугольный участок земли площадью 960 м² обнесён изгородью, длина которой равна 128 м.

Пусть длина участка равна $x$ м, а его ширина — $y$ м.

Составьте систему уравнений, являющующуюся математической моделью ситуации, описанной в условии.

$\begin{cases} xy = 960 \\ 2(x + y) = 128 \end{cases}$

Для составления системы уравнений, описывающей данную ситуацию, воспользуемся известными формулами для площади и периметра прямоугольника.

Согласно условию, длина участка равна $x$ м, а его ширина — $y$ м.

Площадь прямоугольного участка ($S$) вычисляется как произведение его длины и ширины: $S = x \cdot y$. Так как площадь равна 960 м², мы получаем первое уравнение:

$xy = 960$

Длина изгороди представляет собой периметр ($P$) прямоугольного участка. Периметр вычисляется по формуле $P = 2(x+y)$. Поскольку длина изгороди равна 128 м, мы получаем второе уравнение:

$2(x+y) = 128$

Таким образом, математическая модель данной ситуации представляет собой систему из этих двух уравнений.

Ответ: $\begin{cases} xy = 960 \\ 2(x+y) = 128 \end{cases}$

4. Первый рабочий изготавливает 40 деталей на 2 ч дольше, чем второй. При совместной работе они изготавливают за час 30 деталей. Сколько деталей за час изготавливает первый рабочий?

Для решения задачи введем переменные, обозначающие производительность рабочих (количество деталей, изготавливаемых за один час).

Пусть $x$ – производительность первого рабочего (деталей/час).

Пусть $y$ – производительность второго рабочего (деталей/час).

Исходя из условий задачи, составим систему уравнений.

1. Условие "При совместной работе они изготавливают за час 30 деталей" означает, что сумма их производительностей равна 30. Это дает нам первое уравнение:

$x + y = 30$

2. Условие "Первый рабочий изготавливает 40 деталей на 2 ч дольше, чем второй" означает, что время, затраченное первым рабочим на изготовление 40 деталей, на 2 часа больше времени, затраченного вторым рабочим на ту же работу. Время на изготовление 40 деталей для первого рабочего составляет $\frac{40}{x}$ часов, а для второго – $\frac{40}{y}$ часов. Получаем второе уравнение:

$\frac{40}{x} - \frac{40}{y} = 2$

Теперь решим полученную систему уравнений:

$\begin{cases} x + y = 30 \\ \frac{40}{x} - \frac{40}{y} = 2 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $y$ через $x$:

$y = 30 - x$

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$\frac{40}{x} - \frac{40}{30 - x} = 2$

Чтобы решить это уравнение, приведем левую часть к общему знаменателю $x(30 - x)$:

$\frac{40(30 - x) - 40x}{x(30 - x)} = 2$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{1200 - 40x - 40x}{30x - x^2} = 2$

$\frac{1200 - 80x}{30x - x^2} = 2$

Умножим обе части уравнения на знаменатель $30x - x^2$ (при условии, что $x \neq 0$ и $x \neq 30$):

$1200 - 80x = 2(30x - x^2)$

$1200 - 80x = 60x - 2x^2$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$2x^2 - 80x - 60x + 1200 = 0$

$2x^2 - 140x + 1200 = 0$

Разделим все уравнение на 2 для упрощения:

$x^2 - 70x + 600 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-70)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 600 = 4900 - 2400 = 2500$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-(-70) + \sqrt{2500}}{2 \cdot 1} = \frac{70 + 50}{2} = \frac{120}{2} = 60$

$x_2 = \frac{-(-70) - \sqrt{2500}}{2 \cdot 1} = \frac{70 - 50}{2} = \frac{20}{2} = 10$

Мы получили два возможных значения для производительности первого рабочего. Проверим каждое из них:

• Если $x = 60$, то производительность второго рабочего $y = 30 - 60 = -30$. Производительность не может быть отрицательной, следовательно, этот корень не является решением задачи.
• Если $x = 10$, то производительность второго рабочего $y = 30 - 10 = 20$. Оба значения положительны. Проверим, выполняется ли второе условие:
  • Время первого рабочего: $\frac{40}{10} = 4$ часа.
  • Время второго рабочего: $\frac{40}{20} = 2$ часа.
  • Разница во времени: $4 - 2 = 2$ часа.
  Это полностью соответствует условию задачи.

Таким образом, производительность первого рабочего составляет 10 деталей в час.

Ответ: 10.