Страница 53 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. На рисунке 21 изображены графики уравнений $y + x^2 + 4x + 4 = 0$, $x + y = -4$, $x + y = 0$, $y - 2x = 1$, $y - 2x = -4$.

Используя этот рисунок, укажите систему уравнений, не имеющую решений.

1) $\begin{cases} y + x^2 + 4x + 4 = 0 \\ x + y = -4 \end{cases}$

2) $\begin{cases} y + x^2 + 4x + 4 = 0 \\ y - 2x = 1 \end{cases}$

3) $\begin{cases} y + x^2 + 4x + 4 = 0 \\ x + y = 0 \end{cases}$

4) $\begin{cases} y + x^2 + 4x + 4 = 0 \\ y - 2x = -4 \end{cases}$

Рис. 21

Решение системы уравнений графическим методом заключается в нахождении точек пересечения графиков уравнений, входящих в систему. Если графики не имеют общих точек (не пересекаются), то система не имеет решений. Нам нужно найти такую систему среди предложенных вариантов.

Первое уравнение во всех системах одинаково: $y + x^2 + 4x + 4 = 0$. Преобразуем его, чтобы определить вид графика:

$y = -x^2 - 4x - 4$

$y = -(x^2 + 4x + 4)$

$y = -(x+2)^2$

Это уравнение параболы, ветви которой направлены вниз, а вершина находится в точке с координатами $(-2, 0)$. Эта парабола изображена на рисунке.

Теперь последовательно рассмотрим каждую систему.

1) $\begin{cases} y + x^2 + 4x + 4 = 0 \\ x + y = -4 \end{cases}$

Второе уравнение — это уравнение прямой $y = -x - 4$. На графике видно, что эта прямая пересекает параболу в двух точках. Значит, система имеет два решения.

2) $\begin{cases} y + x^2 + 4x + 4 = 0 \\ y - 2x = 1 \end{cases}$

Второе уравнение — это уравнение прямой $y = 2x + 1$. На графике видно, что эта прямая пересекает параболу в двух точках. Значит, система имеет два решения.

3) $\begin{cases} y + x^2 + 4x + 4 = 0 \\ x + y = 0 \end{cases}$

Второе уравнение — это уравнение прямой $y = -x$. На графике видно, что эта прямая не пересекается с параболой. Проверим это аналитически. Для этого приравняем выражения для $y$ из обоих уравнений:

$-(x+2)^2 = -x$

$- (x^2 + 4x + 4) = -x$

$-x^2 - 4x - 4 = -x$

$x^2 + 3x + 4 = 0$

Найдем дискриминант полученного квадратного уравнения: $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 9 - 16 = -7$.

Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$), уравнение не имеет действительных корней. Это подтверждает, что у графиков нет точек пересечения. Следовательно, эта система не имеет решений.

4) $\begin{cases} y + x^2 + 4x + 4 = 0 \\ y - 2x = -4 \end{cases}$

Второе уравнение — это уравнение прямой $y = 2x - 4$. На графике видно, что эта прямая пересекает параболу в двух точках. Значит, система имеет два решения.

Вывод: единственная система уравнений, не имеющая решений, — та, что предложена в пункте 3.

Ответ: 3

2. Укажите решения системы уравнений $ \begin{cases} y^2 - xy = 12, \\ 3y - x = 10. \end{cases} $

1) $(1; -3), (4; -2)$

2) $(-1; 3), (4; -2)$

3) $(1; -3), (-4; 2)$

4) $(-1; 3), (-4; 2)$

Для решения системы уравнений$$ \begin{cases} y^2 - xy = 12 \\ 3y - x = 10 \end{cases} $$используем метод подстановки. Сначала выразим переменную $x$ из второго, более простого, уравнения:
$3y - x = 10$
$x = 3y - 10$
Теперь подставим это выражение для $x$ в первое уравнение системы:
$y^2 - (3y - 10)y = 12$
Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые, чтобы получить квадратное уравнение относительно $y$:
$y^2 - 3y^2 + 10y = 12$
$-2y^2 + 10y - 12 = 0$
Для удобства разделим все члены уравнения на $-2$:
$y^2 - 5y + 6 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $5$, а их произведение равно $6$. Легко видеть, что корнями являются $y_1 = 2$ и $y_2 = 3$.
Найдём соответствующие значения $x$ для каждого корня $y$, используя выражение $x = 3y - 10$:
При $y_1 = 2$:
$x_1 = 3(2) - 10 = 6 - 10 = -4$
Первое решение системы: $(-4; 2)$.
При $y_2 = 3$:
$x_2 = 3(3) - 10 = 9 - 10 = -1$
Второе решение системы: $(-1; 3)$.
Таким образом, решениями системы являются пары чисел $(-1; 3)$ и $(-4; 2)$, что соответствует варианту ответа 4.
Ответ: 4) (-1; 3), (-4; 2)

3. Решите графически систему уравнений

$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 9, \\ x - y = -3. \end{cases} $

Для графического решения системы уравнений необходимо построить графики каждого уравнения в одной координатной плоскости. Координаты точек пересечения этих графиков будут являться решениями системы.

1. Первое уравнение $x^2 + y^2 = 9$ является уравнением окружности. Центр этой окружности находится в начале координат, в точке $(0, 0)$, а её радиус $r$ равен $\sqrt{9} = 3$.

2. Второе уравнение $x - y = -3$ является линейным уравнением, его график — прямая. Выразим $y$ через $x$ для удобства построения: $y = x + 3$. Для построения прямой достаточно найти две точки. Например:

• при $x=0$, $y = 0 + 3 = 3$. Точка $(0, 3)$.
• при $x=-3$, $y = -3 + 3 = 0$. Точка $(-3, 0)$.

3. Построим окружность и прямую на одной координатной плоскости. Окружность с центром в $(0, 0)$ и радиусом 3 проходит через точки $(3, 0)$, $(-3, 0)$, $(0, 3)$ и $(0, -3)$. Прямая проходит через точки $(-3, 0)$ и $(0, 3)$.

Из построения видно, что графики пересекаются в двух точках: $(-3, 0)$ и $(0, 3)$. Эти точки являются решениями системы.

Ответ: $(-3, 0)$, $(0, 3)$.

4. Решите систему уравнений:

1)$\begin{cases} 2x + 5xy = 14, \\ y - 5xy = -9; \end{cases}$

2)$\begin{cases} \frac{x}{y} - \frac{y}{x} = -\frac{8}{3}, \\ 4y - 3x = 13. \end{cases}$

1)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 2x + 5xy = 14, \\ y - 5xy = -9. \end{cases} $$

Для решения этой системы удобно использовать метод сложения. Сложим левые и правые части обоих уравнений:

$(2x + 5xy) + (y - 5xy) = 14 + (-9)$

Члены $5xy$ и $-5xy$ взаимно уничтожаются:

$2x + y = 5$

Из этого простого линейного уравнения выразим переменную $y$ через $x$:

$y = 5 - 2x$

Теперь подставим полученное выражение для $y$ в любое из исходных уравнений. Возьмем первое уравнение $2x + 5xy = 14$:

$2x + 5x(5 - 2x) = 14$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, чтобы получить квадратное уравнение:

$2x + 25x - 10x^2 = 14$

$-10x^2 + 27x - 14 = 0$

Умножим уравнение на $-1$ для удобства:

$10x^2 - 27x + 14 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-27)^2 - 4 \cdot 10 \cdot 14 = 729 - 560 = 169 = 13^2$

Найдем корни уравнения для $x$:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{27 + 13}{2 \cdot 10} = \frac{40}{20} = 2$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{27 - 13}{2 \cdot 10} = \frac{14}{20} = \frac{7}{10}$

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого найденного $x$, используя выражение $y = 5 - 2x$:

Для $x_1 = 2$:

$y_1 = 5 - 2 \cdot 2 = 5 - 4 = 1$

Для $x_2 = \frac{7}{10}$:

$y_2 = 5 - 2 \cdot \frac{7}{10} = 5 - \frac{14}{10} = 5 - \frac{7}{5} = \frac{25 - 7}{5} = \frac{18}{5}$

Таким образом, мы получили две пары решений.

Ответ: $(2; 1)$, $(\frac{7}{10}; \frac{18}{5})$.

2)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{x}{y} - \frac{y}{x} = -\frac{8}{3}, \\ 4y - 3x = 13. \end{cases} $$

Сначала определим область допустимых значений: из первого уравнения следует, что $x \neq 0$ и $y \neq 0$.

Преобразуем первое уравнение. Приведем левую часть к общему знаменателю $xy$:

$\frac{x \cdot x - y \cdot y}{xy} = -\frac{8}{3}$

$\frac{x^2 - y^2}{xy} = -\frac{8}{3}$

По свойству пропорции получаем:

$3(x^2 - y^2) = -8xy$

$3x^2 - 3y^2 = -8xy$

$3x^2 + 8xy - 3y^2 = 0$

Полученное уравнение является однородным уравнением второй степени. Разделим обе его части на $y^2$ (мы знаем, что $y \neq 0$):

$3\frac{x^2}{y^2} + 8\frac{xy}{y^2} - 3\frac{y^2}{y^2} = 0$

$3(\frac{x}{y})^2 + 8(\frac{x}{y}) - 3 = 0$

Введем новую переменную $t = \frac{x}{y}$. Уравнение примет вид:

$3t^2 + 8t - 3 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $t$ через дискриминант:

$D = 8^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100 = 10^2$

$t_1 = \frac{-8 + 10}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

$t_2 = \frac{-8 - 10}{2 \cdot 3} = \frac{-18}{6} = -3$

Теперь вернемся к исходным переменным. Рассмотрим два случая:

Случай 1: $\frac{x}{y} = t_1 = \frac{1}{3}$.

Отсюда $y = 3x$. Подставим это соотношение во второе уравнение системы $4y - 3x = 13$:

$4(3x) - 3x = 13$

$12x - 3x = 13$

$9x = 13 \implies x = \frac{13}{9}$

Найдем соответствующий $y$: $y = 3x = 3 \cdot \frac{13}{9} = \frac{13}{3}$.

Первое решение: $(\frac{13}{9}; \frac{13}{3})$.

Случай 2: $\frac{x}{y} = t_2 = -3$.

Отсюда $x = -3y$. Подставим это соотношение во второе уравнение системы $4y - 3x = 13$:

$4y - 3(-3y) = 13$

$4y + 9y = 13$

$13y = 13 \implies y = 1$

Найдем соответствующий $x$: $x = -3y = -3 \cdot 1 = -3$.

Второе решение: $(-3; 1)$.

Ответ: $(\frac{13}{9}; \frac{13}{3})$, $(-3; 1)$.