Страница 50 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Укажите рисунок, на котором изображено множество решений неравенства $5x - x^2 \ge 0$.

1) 2) 3) 4)

Чтобы решить неравенство $5x - x^2 \ge 0$, сначала приравняем левую часть к нулю и найдем корни уравнения:

$5x - x^2 = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(5 - x) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Таким образом, получаем два корня:

$x_1 = 0$

$5 - x = 0 \implies x_2 = 5$

Теперь рассмотрим функцию $y = 5x - x^2$. Графиком этой функции является парабола. Поскольку коэффициент при $x^2$ отрицательный ($-1$), ветви параболы направлены вниз. Парабола пересекает ось абсцисс в точках $x = 0$ и $x = 5$.

Нам нужно найти, при каких значениях $x$ выражение $5x - x^2$ больше или равно нулю. Это означает, что мы ищем те значения $x$, для которых график параболы находится выше оси абсцисс или на ней.

Так как ветви параболы направлены вниз, она будет принимать неотрицательные значения на отрезке между своими корнями, включая сами корни.

Следовательно, решением неравенства является промежуток $[0, 5]$.

Среди предложенных вариантов этот промежуток изображен на рисунке под номером 3. На нем закрашены точки 0 и 5 (что соответствует нестрогому знаку неравенства $\ge$) и заштрихована область между ними.

Ответ: 3

2. Укажите множество решений неравенства $x^2 - 36 < 0$.

1) $(-\infty; -6)$

2) $(-\infty; 6)$

3) $(-6; 6)$

4) $(-\infty; -6) \cup (6; +\infty)$

Для решения квадратного неравенства $x^2 - 36 < 0$ необходимо найти значения $x$, при которых левая часть меньше нуля. Воспользуемся методом интервалов.

1. Нахождение корней уравнения

Сначала найдем корни соответствующего уравнения, приравняв левую часть к нулю:

$x^2 - 36 = 0$

Это уравнение можно решить двумя способами:

а) Перенесем 36 в правую часть:

$x^2 = 36$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$x_1 = 6$, $x_2 = -6$

б) Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(x - 6)(x + 6) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

$x - 6 = 0 \implies x_1 = 6$

$x + 6 = 0 \implies x_2 = -6$

2. Анализ знаков на числовой прямой

Полученные корни $x=-6$ и $x=6$ делят числовую прямую на три интервала: $(-\infty; -6)$, $(-6; 6)$ и $(6; +\infty)$. Определим знак выражения $x^2 - 36$ на каждом из этих интервалов, подставив в него пробное значение из каждого интервала.

• Интервал $(-\infty; -6)$: возьмем $x = -7$. Тогда $(-7)^2 - 36 = 49 - 36 = 13$. Значение положительное (+).
• Интервал $(-6; 6)$: возьмем $x = 0$. Тогда $0^2 - 36 = -36$. Значение отрицательное (-).
• Интервал $(6; +\infty)$: возьмем $x = 7$. Тогда $7^2 - 36 = 49 - 36 = 13$. Значение положительное (+).

3. Выбор решения

Мы ищем решение неравенства $x^2 - 36 < 0$, то есть те значения $x$, при которых выражение отрицательно. Согласно нашему анализу, это интервал $(-6; 6)$.

Этот результат соответствует варианту ответа под номером 3.

Ответ: 3) $(-6; 6)$

3. Решите неравенство:

1) $9x^2 + 26x - 3 < 0;$

2) $-4x^2 - 2x - 5 > 0;$

3) $(x+7)(x-4) - (3-x)(3+x) \ge -32.$

1) Для решения квадратичного неравенства $9x^2 + 26x - 3 < 0$ сначала найдем корни соответствующего уравнения $9x^2 + 26x - 3 = 0$.
Воспользуемся формулой для нахождения корней квадратного уравнения через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = 26^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-3) = 676 + 108 = 784$.
Корень из дискриминанта $\sqrt{784} = 28$.
Находим корни:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-26 - 28}{2 \cdot 9} = \frac{-54}{18} = -3$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-26 + 28}{2 \cdot 9} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9}$
Графиком функции $y = 9x^2 + 26x - 3$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=9>0$). Неравенство принимает отрицательные значения на интервале между корнями.
Следовательно, решение неравенства: $x \in (-3; \frac{1}{9})$.
Ответ: $(-3; \frac{1}{9})$

2) Рассмотрим неравенство $-4x^2 - 2x - 5 > 0$.
Умножим обе части неравенства на -1, изменив при этом знак неравенства на противоположный:
$4x^2 + 2x + 5 < 0$
Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $4x^2 + 2x + 5 = 0$.
Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = 2^2 - 4 \cdot 4 \cdot 5 = 4 - 80 = -76$.
Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$), квадратное уравнение не имеет действительных корней. Графиком функции $y = 4x^2 + 2x + 5$ является парабола, ветви которой направлены вверх ($a=4>0$), и она полностью расположена выше оси абсцисс. Это означает, что выражение $4x^2 + 2x + 5$ всегда положительно для любого действительного значения $x$.
Поскольку мы ищем значения $x$, при которых $4x^2 + 2x + 5 < 0$, а это выражение всегда больше нуля, то неравенство не имеет решений.
Ответ: решений нет.

3) Рассмотрим неравенство $(x + 7)(x - 4) - (3 - x)(3 + x) \ge -32$.
Упростим левую часть неравенства, раскрыв скобки. Для второго произведения используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.
$(x^2 - 4x + 7x - 28) - (3^2 - x^2) \ge -32$
$(x^2 + 3x - 28) - (9 - x^2) \ge -32$
$x^2 + 3x - 28 - 9 + x^2 \ge -32$
Приведем подобные слагаемые:
$2x^2 + 3x - 37 \ge -32$
Перенесем все слагаемые в левую часть:
$2x^2 + 3x - 37 + 32 \ge 0$
$2x^2 + 3x - 5 \ge 0$
Теперь решим полученное квадратичное неравенство. Найдем корни уравнения $2x^2 + 3x - 5 = 0$.
Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49$.
Корень из дискриминанта $\sqrt{49} = 7$.
Находим корни:
$x_1 = \frac{-3 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{-10}{4} = -\frac{5}{2} = -2.5$
$x_2 = \frac{-3 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$
Графиком функции $y = 2x^2 + 3x - 5$ является парабола с ветвями вверх ($a=2>0$). Неравенство $2x^2 + 3x - 5 \ge 0$ выполняется на промежутках, где парабола находится выше или на оси абсцисс, то есть слева от меньшего корня и справа от большего корня, включая сами корни.
Следовательно, решение неравенства: $x \le -2.5$ или $x \ge 1$.
Ответ: $(-\infty; -2.5] \cup [1; \infty)$

4. Найдите область определения функции

$y = \sqrt{32 + 4x - x^2} + \frac{1}{\sqrt{12 - 4x}}$

Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл. Данная функция $y = \sqrt{32 + 4x - x^2} + \frac{1}{\sqrt{12 - 4x}}$ представляет собой сумму двух слагаемых. Чтобы функция была определена, должны быть определены оба слагаемых одновременно. Это приводит к системе из двух условий:

1. Выражение под первым квадратным корнем должно быть неотрицательным: $32 + 4x - x^2 \ge 0$.

2. Выражение под вторым квадратным корнем, которое находится в знаменателе дроби, должно быть строго положительным: $12 - 4x > 0$.

Решим эту систему неравенств:

$\begin{cases} 32 + 4x - x^2 \ge 0 \\ 12 - 4x > 0 \end{cases}$

Рассмотрим первое неравенство: $32 + 4x - x^2 \ge 0$.

Для удобства умножим обе части на $-1$ и изменим знак неравенства на противоположный:

$x^2 - 4x - 32 \le 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 4x - 32 = 0$. Используя теорему Виета, находим корни: $x_1 = 8$ и $x_2 = -4$.

Графиком функции $f(x) = x^2 - 4x - 32$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, значения функции меньше или равны нулю на промежутке между корнями, включая сами корни.

Решением первого неравенства является отрезок $[-4, 8]$.

Рассмотрим второе неравенство: $12 - 4x > 0$.

Перенесем $4x$ в правую часть:

$12 > 4x$

Разделим обе части на 4:

$3 > x$, что эквивалентно $x < 3$.

Решением второго неравенства является интервал $(-\infty, 3)$.

Область определения исходной функции является пересечением решений обоих неравенств: $[-4, 8] \cap (-\infty, 3)$.

Найдем пересечение этих множеств. Это все числа $x$, которые удовлетворяют условию $-4 \le x < 3$.

Таким образом, область определения функции — это промежуток $[-4, 3)$.

Ответ: $x \in [-4, 3)$.

5. Решите неравенство $\sqrt{x(x^2+3x-10)} < 0$.

Рассмотрим данное неравенство: $\sqrt{x(x^2 + 3x - 10)} < 0$.

Арифметический квадратный корень по определению является неотрицательной величиной. То есть, для любого выражения $A$, для которого корень $\sqrt{A}$ существует в множестве действительных чисел, выполняется условие $\sqrt{A} \ge 0$.

Левая часть данного неравенства, $\sqrt{x(x^2 + 3x - 10)}$, представляет собой арифметический квадратный корень. Следовательно, она не может быть отрицательной ни при каких допустимых значениях переменной $x$.

Неравенство требует, чтобы значение левой части было строго меньше нуля. Так как это условие никогда не может быть выполнено, данное неравенство не имеет решений.

Ответ: $\emptyset$ (нет решений).