Страница 49 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Укажите рисунок, на котором изображено множество решений неравенства $4x - x^2 \le 0$.

1) Числовая прямая с закрашенной точкой в 4 и штриховкой влево от 4.

2) Числовая прямая с закрашенной точкой в 0 и штриховкой вправо от 0.

3) Числовая прямая с закрашенными точками в 0 и 4, и штриховкой между 0 и 4.

4) Числовая прямая с закрашенными точками в 0 и 4, и штриховкой влево от 0 и вправо от 4.

Чтобы решить квадратное неравенство $4x - x^2 \le 0$, сначала найдем корни соответствующего уравнения $4x - x^2 = 0$. Для этого вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(4 - x) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 4$.

Теперь рассмотрим функцию $y = 4x - x^2$. Графиком этой функции является парабола. Так как коэффициент при $x^2$ отрицательный (-1), ветви параболы направлены вниз. Парабола пересекает ось абсцисс (ось Ox) в точках $x=0$ и $x=4$.

Нам нужно найти значения $x$, при которых $4x - x^2 \le 0$, то есть где график функции находится на оси Ox или ниже нее. Поскольку ветви параболы направлены вниз, функция принимает неположительные значения на промежутках левее меньшего корня и правее большего корня, включая сами корни (так как неравенство нестрогое).

Таким образом, решением неравенства является объединение промежутков: $x \le 0$ и $x \ge 4$. Это можно записать в виде $x \in (-\infty; 0] \cup [4; +\infty)$.

Данному решению соответствует рисунок под номером 4, на котором заштрихованы области слева от 0 (включая 0) и справа от 4 (включая 4).

Ответ: 4

2. Укажите множество решений неравенства $x^2 - 49 > 0$.

1) $(7; +\infty)$

2) $(-7; +\infty)$

3) $(-7; 7)$

4) $(-\infty; -7) \cup (7; +\infty)$

Для решения квадратного неравенства $x^2 - 49 > 0$ необходимо найти значения $x$, при которых это неравенство является верным. Рассмотрим соответствующее уравнение $x^2 - 49 = 0$.

Это уравнение можно решить, разложив левую часть по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(x - 7)(x + 7) = 0$

Корнями этого уравнения являются $x_1 = 7$ и $x_2 = -7$.

Эти точки делят числовую ось на три интервала: $(-\infty; -7)$, $(-7; 7)$ и $(7; +\infty)$.

Функция $y = x^2 - 49$ представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх, поскольку коэффициент при $x^2$ положителен. Это означает, что значения функции положительны вне интервала между корнями и отрицательны внутри этого интервала.

Нам нужно найти, где $x^2 - 49 > 0$, то есть где значения функции положительны. Это происходит на интервалах, которые находятся левее корня $-7$ и правее корня $7$.

Таким образом, решением неравенства является объединение двух интервалов: $x \in (-\infty; -7) \cup (7; +\infty)$.

Сравнивая с предложенными вариантами, мы видим, что это соответствует варианту 4.

Ответ: 4) $(-\infty; -7) \cup (7; +\infty)$

3. Решите неравенство:

1) $7x^2 + 12x - 4 > 0;$

2) $-5x^2 + 3x - 2 < 0;$

3) $(x + 19)(x - 3) - (2x - 1)(2x + 1) \ge x - 38.$

1) $7x^2 + 12x - 4 > 0$

Для решения данного квадратного неравенства сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $7x^2 + 12x - 4 = 0$.
Вычислим дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = 12^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-4) = 144 + 112 = 256$.
$\sqrt{D} = \sqrt{256} = 16$.
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-12 - 16}{2 \cdot 7} = \frac{-28}{14} = -2$.
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-12 + 16}{2 \cdot 7} = \frac{4}{14} = \frac{2}{7}$.
Графиком функции $y = 7x^2 + 12x - 4$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($7 > 0$).
Неравенство $7x^2 + 12x - 4 > 0$ выполняется, когда парабола находится выше оси Ox, то есть за пределами корней.
Следовательно, решение неравенства: $x < -2$ и $x > \frac{2}{7}$.
В виде интервалов: $x \in (-\infty; -2) \cup (\frac{2}{7}; +\infty)$.
Ответ: $(-\infty; -2) \cup (\frac{2}{7}; +\infty)$.

2) $-5x^2 + 3x - 2 < 0$

Рассмотрим соответствующее квадратное уравнение $-5x^2 + 3x - 2 = 0$.
Вычислим дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot (-5) \cdot (-2) = 9 - 40 = -31$.
Поскольку дискриминант отрицателен ($D < 0$), квадратное уравнение не имеет действительных корней.
Графиком функции $y = -5x^2 + 3x - 2$ является парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицателен ($-5 < 0$).
Так как у параболы с ветвями вниз нет точек пересечения с осью Ox, она полностью расположена ниже оси Ox.
Это означает, что выражение $-5x^2 + 3x - 2$ всегда отрицательно при любом значении $x$.
Неравенство $-5x^2 + 3x - 2 < 0$ выполняется для всех действительных чисел.
Ответ: $(-\infty; +\infty)$.

3) $(x + 19)(x - 3) - (2x - 1)(2x + 1) \ge x - 38$

Упростим данное неравенство, раскрыв скобки.
Первое произведение: $(x + 19)(x - 3) = x^2 - 3x + 19x - 57 = x^2 + 16x - 57$.
Второе произведение — это разность квадратов: $(2x - 1)(2x + 1) = (2x)^2 - 1^2 = 4x^2 - 1$.
Подставим раскрытые скобки в исходное неравенство:
$(x^2 + 16x - 57) - (4x^2 - 1) \ge x - 38$.
$x^2 + 16x - 57 - 4x^2 + 1 \ge x - 38$.
Приведем подобные слагаемые:
$-3x^2 + 16x - 56 \ge x - 38$.
Перенесем все члены в левую часть:
$-3x^2 + 16x - x - 56 + 38 \ge 0$.
$-3x^2 + 15x - 18 \ge 0$.
Разделим обе части неравенства на $-3$, изменив при этом знак неравенства на противоположный:
$x^2 - 5x + 6 \le 0$.
Теперь решим соответствующее уравнение $x^2 - 5x + 6 = 0$.
По теореме Виета, корни уравнения $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$.
Графиком функции $y = x^2 - 5x + 6$ является парабола с ветвями вверх ($1 > 0$).
Неравенство $x^2 - 5x + 6 \le 0$ выполняется, когда парабола находится на оси Ox или ниже неё, то есть между корнями, включая сами корни.
Следовательно, решение неравенства: $2 \le x \le 3$.
Ответ: $[2; 3]$.

4. Найдите область определения функции

$y = \frac{1}{\sqrt{6-3x}} + \sqrt{48+2x-x^2}$

Область определения функции – это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл. Данная функция $y = \frac{1}{\sqrt{6 - 3x}} + \sqrt{48 + 2x - x^2}$ является суммой двух слагаемых, поэтому для нахождения ее области определения необходимо найти множество значений $x$, при которых оба слагаемых существуют. Это приводит к системе из двух условий.

1. Рассмотрим первое слагаемое $\frac{1}{\sqrt{6 - 3x}}$.

Выражение под корнем в знаменателе должно быть строго положительным (больше нуля), так как извлечение квадратного корня из отрицательного числа не определено, и деление на ноль недопустимо.

Получаем неравенство:

$6 - 3x > 0$

$-3x > -6$

Разделим обе части на -3, при этом знак неравенства изменится на противоположный:

$x < \frac{-6}{-3}$

$x < 2$

2. Рассмотрим второе слагаемое $\sqrt{48 + 2x - x^2}$.

Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным (больше или равно нулю).

Получаем неравенство:

$48 + 2x - x^2 \ge 0$

Для удобства решения умножим неравенство на -1 и изменим знак неравенства на противоположный:

$x^2 - 2x - 48 \le 0$

Теперь найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 2x - 48 = 0$. Это можно сделать с помощью дискриминанта или по теореме Виета.

По теореме Виета, сумма корней равна 2, а их произведение равно -48. Подбором находим корни: $x_1 = 8$ и $x_2 = -6$.

Графиком функции $f(x) = x^2 - 2x - 48$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции меньше или равны нулю на промежутке между корнями, включая сами корни.

Таким образом, решение неравенства $x^2 - 2x - 48 \le 0$ есть отрезок $[-6; 8]$, то есть $-6 \le x \le 8$.

3. Найдем пересечение решений.

Область определения исходной функции — это множество значений $x$, удовлетворяющих обоим условиям одновременно. Составим систему неравенств:

$\begin{cases} x < 2 \\ -6 \le x \le 8 \end{cases}$

Решением этой системы является пересечение промежутков $(-\infty; 2)$ и $[-6; 8]$.

Таким образом, получаем промежуток $[-6; 2)$.

Ответ: $x \in [-6; 2)$.

5. Решите неравенство $\sqrt{x(x^2 - 4x - 21)} > 0$.

Исходное неравенство $\sqrt{x(x^2 - 4x - 21)} > 0$ имеет смысл и выполняется тогда и только тогда, когда выражение под корнем строго больше нуля. Это связано с тем, что квадратный корень является неотрицательной функцией, и он будет строго больше нуля, только если подкоренное выражение положительно.

Таким образом, данное неравенство равносильно неравенству:
$x(x^2 - 4x - 21) > 0$

Для решения этого неравенства методом интервалов найдем сначала корни соответствующего уравнения $x(x^2 - 4x - 21) = 0$.
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
1) $x_1 = 0$
2) $x^2 - 4x - 21 = 0$

Решим квадратное уравнение $x^2 - 4x - 21 = 0$ с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 16 + 84 = 100$
$\sqrt{D} = \sqrt{100} = 10$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + 10}{2} = \frac{14}{2} = 7$
$x_3 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - 10}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

Мы получили три корня: $-3$, $0$ и $7$. Теперь мы можем переписать неравенство в виде:
$(x - (-3))(x - 0)(x - 7) > 0$
$x(x + 3)(x - 7) > 0$

Отметим найденные корни на числовой прямой. Они разбивают прямую на четыре интервала: $(-\infty; -3)$, $(-3; 0)$, $(0; 7)$ и $(7; +\infty)$.
Определим знак выражения $x(x + 3)(x - 7)$ на каждом из этих интервалов:
- при $x \in (7; +\infty)$, например $x=10$: $10 \cdot (10+3) \cdot (10-7) = 10 \cdot 13 \cdot 3 > 0$. Знак «+».
- при $x \in (0; 7)$, например $x=1$: $1 \cdot (1+3) \cdot (1-7) = 1 \cdot 4 \cdot (-6) < 0$. Знак «-».
- при $x \in (-3; 0)$, например $x=-1$: $(-1) \cdot (-1+3) \cdot (-1-7) = (-1) \cdot 2 \cdot (-8) > 0$. Знак «+».
- при $x \in (-\infty; -3)$, например $x=-4$: $(-4) \cdot (-4+3) \cdot (-4-7) = (-4) \cdot (-1) \cdot (-11) < 0$. Знак «-».

Поскольку мы решаем неравенство со знаком «>», нас интересуют интервалы, где выражение положительно. Такими интервалами являются $(-3; 0)$ и $(7; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-3; 0) \cup (7; +\infty)$.