Страница 42 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. График какой из данных функций получим, если параллельно перенесём график функции $y = x^2$ на 6 единиц влево?

1) $y = (x - 6)^2$

2) $y = (x + 6)^2$

3) $y = x^2 - 6$

4) $y = x^2 + 6$

Для того чтобы найти функцию, график которой является результатом параллельного переноса графика функции $y = x^2$ на 6 единиц влево, необходимо применить правило преобразования графиков функций.

Общее правило для горизонтального сдвига графика функции $y = f(x)$ выглядит так:

Чтобы сдвинуть график функции на $a$ единиц влево, необходимо заменить аргумент $x$ на выражение $(x + a)$. Получится функция $y = f(x + a)$.

Чтобы сдвинуть график функции на $a$ единиц вправо, необходимо заменить аргумент $x$ на выражение $(x - a)$. Получится функция $y = f(x - a)$.

В данной задаче исходная функция $f(x) = x^2$. Требуется выполнить сдвиг на $a=6$ единиц влево. Согласно правилу, мы должны заменить $x$ на $(x + 6)$.

Подставляем $(x+6)$ вместо $x$ в исходное уравнение $y = x^2$:

$y = (x + 6)^2$

Теперь сравним полученный результат с предложенными вариантами:

1) $y = (x - 6)^2$ — это сдвиг графика $y = x^2$ на 6 единиц вправо.

2) $y = (x + 6)^2$ — это сдвиг графика $y = x^2$ на 6 единиц влево.

3) $y = x^2 - 6$ — это сдвиг графика $y = x^2$ на 6 единиц вниз.

4) $y = x^2 + 6$ — это сдвиг графика $y = x^2$ на 6 единиц вверх.

Правильным является вариант под номером 2.

Ответ: 2

2. Укажите координатную четверть, в которой находится вершина параболы $y=(x-5)^2+10$.

1) I четверть

2) II четверть

3) III четверть

4) IV четверть

Уравнение параболы $y = (x - 5)^2 + 10$ представлено в виде $y = a(x - h)^2 + k$, который называется вершинной формой. Координаты вершины параболы в этой форме равны $(h; k)$.

Сравнивая данное уравнение с общей вершинной формой, мы можем найти координаты вершины:
$y = (x - 5)^2 + 10$
$y = (x - h)^2 + k$
Отсюда следует, что $h = 5$ и $k = 10$.

Таким образом, вершина параболы находится в точке с координатами $(5; 10)$.

Теперь определим, в какой координатной четверти находится эта точка. Координатные четверти определяются знаками координат $x$ и $y$:
- I четверть: $x > 0$, $y > 0$
- II четверть: $x < 0$, $y > 0$
- III четверть: $x < 0$, $y < 0$
- IV четверть: $x > 0$, $y < 0$
Поскольку для вершины $(5; 10)$ абсцисса $x=5$ положительна и ордината $y=10$ также положительна, точка находится в I четверти.
Ответ: 1) I четверть

3. Постройте график функции $y = \frac{12}{x}$. Используя этот график, постройте график функции:

1) $y = \frac{12}{x - 4}$;

2) $y = \frac{12 + 4x}{x}$.

Сначала построим график базовой функции $y = \frac{12}{x}$. Это гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях, так как коэффициент $k=12 > 0$. Асимптотами графика являются оси координат: вертикальная асимптота $x=0$ (ось Oy) и горизонтальная асимптота $y=0$ (ось Ox).

Для построения найдем несколько точек, принадлежащих графику:

Теперь, используя этот график, построим графики заданных функций.

1) $y = \frac{12}{x-4}$

График этой функции можно получить из графика функции $y = \frac{12}{x}$ с помощью параллельного переноса (сдвига) вдоль оси абсцисс (Ox) на 4 единицы вправо.

При таком сдвиге горизонтальная асимптота $y=0$ не изменится, а вертикальная асимптота $x=0$ сместится на 4 единицы вправо и станет прямой $x=4$. Каждая точка базового графика $(x_0, y_0)$ перейдет в точку $(x_0+4, y_0)$.

Ответ: График функции $y = \frac{12}{x-4}$ — это гипербола $y = \frac{12}{x}$, сдвинутая на 4 единицы вправо. Вертикальная асимптота: $x=4$, горизонтальная асимптота: $y=0$.

2) $y = \frac{12+4x}{x}$

Сначала преобразуем выражение для функции, разделив числитель почленно на знаменатель: $y = \frac{12+4x}{x} = \frac{12}{x} + \frac{4x}{x} = \frac{12}{x} + 4$.

График этой функции можно получить из графика функции $y = \frac{12}{x}$ с помощью параллельного переноса (сдвига) вдоль оси ординат (Oy) на 4 единицы вверх.

При таком сдвиге вертикальная асимптота $x=0$ не изменится, а горизонтальная асимптота $y=0$ сместится на 4 единицы вверх и станет прямой $y=4$. Каждая точка базового графика $(x_0, y_0)$ перейдет в точку $(x_0, y_0+4)$.

Ответ: График функции $y = \frac{12+4x}{x}$ — это гипербола $y = \frac{12}{x}$, сдвинутая на 4 единицы вверх. Вертикальная асимптота: $x=0$, горизонтальная асимптота: $y=4$.

4. Определите графически количество корней уравнения

$\sqrt{x-1} = x^2 - 4.$

Для графического определения количества корней уравнения $\sqrt{x-1} = x^2 - 4$ необходимо построить графики двух функций в одной системе координат: $y_1 = \sqrt{x-1}$ и $y_2 = x^2 - 4$. Количество точек пересечения этих графиков будет равно количеству корней исходного уравнения.

1. Анализ функций и области определения

• Функция $y_1 = \sqrt{x-1}$:
  • Область определения (ОДЗ): подкоренное выражение должно быть неотрицательным, т.е. $x-1 \ge 0$, откуда $x \ge 1$.
  • Графиком является верхняя ветвь параболы, симметричной относительно оси Ox, с вершиной в точке $(1, 0)$. Функция возрастающая.
• Функция $y_2 = x^2 - 4$:
  • Это квадратичная функция, графиком которой является парабола с ветвями, направленными вверх, и вершиной в точке $(0, -4)$.

Поскольку левая часть уравнения, $\sqrt{x-1}$, по определению арифметического корня не может быть отрицательной ($\sqrt{x-1} \ge 0$), то и правая часть должна удовлетворять тому же условию: $x^2 - 4 \ge 0$. Решая это неравенство, получаем $x \in (-\infty, -2] \cup [2, \infty)$.

Объединяя оба условия ($x \ge 1$ и $x \in (-\infty, -2] \cup [2, \infty)$), находим общую область допустимых значений для корней уравнения: $x \ge 2$.

2. Построение и анализ графиков

Рассмотрим поведение графиков на промежутке $x \ge 2$.

• Вычислим значения функций в начальной точке промежутка, при $x=2$:
  • $y_1(2) = \sqrt{2-1} = 1$. Точка на графике: $(2, 1)$.
  • $y_2(2) = 2^2 - 4 = 0$. Точка на графике: $(2, 0)$.
  Видим, что при $x=2$ график функции $y_1 = \sqrt{x-1}$ находится выше графика функции $y_2 = x^2 - 4$.
• Рассмотрим, как ведут себя функции при увеличении $x$. Например, при $x=3$:
  • $y_1(3) = \sqrt{3-1} = \sqrt{2} \approx 1.41$.
  • $y_2(3) = 3^2 - 4 = 5$.
  При $x=3$ график параболы $y_2 = x^2 - 4$ уже находится значительно выше графика $y_1 = \sqrt{x-1}$.

Обе функции являются непрерывными на промежутке $[2, \infty)$. Поскольку в точке $x=2$ график $y_1$ находится выше графика $y_2$, а при $x=3$ — уже ниже, это означает, что на интервале $(2, 3)$ графики обязательно должны пересечься хотя бы один раз.

При $x \ge 2$ функция $y_2 = x^2 - 4$ возрастает гораздо быстрее, чем функция $y_1 = \sqrt{x-1}$. После точки пересечения парабола будет всегда находиться выше ветви параболы, и других точек пересечения не будет. Таким образом, графики функций пересекаются только в одной точке.

Из графика видно, что функции имеют одну точку пересечения.

Ответ: 1.