Страница 35 - гдз по алгебре 9 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. При каком значении $b$ точка $M(-3; b)$ принадлежит графику функции $y = 0,3x^2$?

1) $-2,7$ 2) $2,7$ 3) $-0,9$ 4) $0,9$

Чтобы точка $M(-3; b)$ принадлежала графику функции $y = 0,3x^2$, ее координаты должны удовлетворять уравнению этой функции. Это означает, что если мы подставим координату $x$ точки в уравнение, мы должны получить ее координату $y$.

В нашем случае, координата $x$ точки $M$ равна $-3$, а координата $y$ равна $b$.

Подставим значение $x = -3$ в уравнение функции, чтобы найти соответствующее значение $y$, которое и будет равно $b$:

$y = 0,3 \cdot (-3)^2$

Выполним вычисления:

1. Возведение в степень: $(-3)^2 = 9$.

2. Умножение: $0,3 \cdot 9 = 2,7$.

Таким образом, мы получаем $y = 2,7$.

Так как $y = b$, то $b = 2,7$.

Следовательно, точка $M(-3; 2,7)$ принадлежит графику функции $y = 0,3x^2$. Этот результат соответствует варианту ответа 2).

Ответ: 2,7

2. При каком значении $a$ точка $A (2; -12)$ принадлежит графику функции $y = ax^2$?

1) 3

2) -3

3) -6

4) такого значения $a$ не существует

Для того чтобы точка $A(2; -12)$ принадлежала графику функции $y = ax^2$, ее координаты должны удовлетворять уравнению этой функции. Это значит, что при подстановке координат $x=2$ и $y=-12$ в уравнение функции, мы должны получить верное равенство.

Подставим значения $x = 2$ и $y = -12$ в уравнение $y = ax^2$:

$-12 = a \cdot (2)^2$

Теперь необходимо решить это уравнение относительно переменной $a$.

Возведем 2 в квадрат:

$-12 = a \cdot 4$

Чтобы найти $a$, разделим обе части уравнения на 4:

$a = \frac{-12}{4}$

$a = -3$

Следовательно, точка $A(2; -12)$ принадлежит графику функции при $a = -3$. Этот результат соответствует варианту ответа под номером 2.

Ответ: 2) -3

3. На рисунке 11 изображён график функции $y = f(x)$.

Постройте график функции:

1) $y = 2f(x)$;

2) $y = -f(x)$.

Рис. 11

Для построения графиков заданных функций воспользуемся методами геометрических преобразований графиков.

1) y = 2f(x);

Чтобы построить график функции $y = 2f(x)$, необходимо график исходной функции $y = f(x)$ растянуть в 2 раза вдоль оси ординат (оси OY). Это означает, что для каждой точки на исходном графике с координатами $(x_0, y_0)$, соответствующая точка на новом графике будет иметь координаты $(x_0, 2y_0)$. Абсциссы (координаты по оси $x$) всех точек остаются без изменений, а их ординаты (координаты по оси $y$) умножаются на 2.

Проанализируем ключевые точки исходного графика:

• Точка локального максимума: $A(-2, 1.5)$.
• Точка локального минимума: $B(0, -1)$.
• Нули функции (точки пересечения с осью OX): $C(-1, 0)$ и $D(1, 0)$.
• Контрольная точка: $E(2, 0.5)$.

Теперь найдем координаты соответствующих точек для графика функции $y = 2f(x)$:

• Точка $A$ перейдет в точку $A'(-2, 1.5 \cdot 2) = (-2, 3)$. Это будет новый локальный максимум.
• Точка $B$ перейдет в точку $B'(0, -1 \cdot 2) = (0, -2)$. Это будет новый локальный минимум.
• Точки $C$ и $D$ останутся на месте, так как их ордината равна нулю: $C'(-1, 0 \cdot 2) = (-1, 0)$ и $D'(1, 0 \cdot 2) = (1, 0)$.
• Точка $E$ перейдет в точку $E'(2, 0.5 \cdot 2) = (2, 1)$.

Соединив новые точки плавной кривой, сохраняя общую форму исходного графика, мы получим график функции $y = 2f(x)$. Он будет "вытянут" по вертикали по сравнению с исходным.

Ответ: График функции $y=2f(x)$ получается путем растяжения графика $y=f(x)$ от оси абсцисс в 2 раза. Локальный максимум будет в точке $(-2, 3)$, локальный минимум — в точке $(0, -2)$. Нули функции останутся прежними: $x=-1$ и $x=1$.

2) y = -f(x);

Чтобы построить график функции $y = -f(x)$, необходимо график исходной функции $y = f(x)$ симметрично отразить относительно оси абсцисс (оси OX). Это означает, что для каждой точки на исходном графике с координатами $(x_0, y_0)$, соответствующая точка на новом графике будет иметь координаты $(x_0, -y_0)$. Абсциссы всех точек остаются без изменений, а их ординаты меняют свой знак на противоположный.

Используем те же ключевые точки с исходного графика:

• Точка локального максимума: $A(-2, 1.5)$.
• Точка локального минимума: $B(0, -1)$.
• Нули функции: $C(-1, 0)$ и $D(1, 0)$.
• Контрольная точка: $E(2, 0.5)$.

Найдем координаты соответствующих точек для графика функции $y = -f(x)$:

• Точка $A$ перейдет в точку $A'(-2, -1.5)$. Локальный максимум превратится в локальный минимум.
• Точка $B$ перейдет в точку $B'(0, -(-1)) = (0, 1)$. Локальный минимум превратится в локальный максимум.
• Точки $C$ и $D$ останутся на месте, так как их ордината равна нулю: $C'(-1, -0) = (-1, 0)$ и $D'(1, -0) = (1, 0)$.
• Точка $E$ перейдет в точку $E'(2, -0.5)$.

Соединив новые точки плавной кривой, мы получим "перевернутый" относительно оси OX график функции $y = -f(x)$.

Ответ: График функции $y=-f(x)$ получается путем симметричного отражения графика $y=f(x)$ относительно оси абсцисс. Локальный максимум исходной функции $(-2, 1.5)$ станет локальным минимумом $(-2, -1.5)$, а локальный минимум $(0, -1)$ станет локальным максимумом $(0, 1)$. Нули функции останутся прежними: $x=-1$ и $x=1$.

4. Постройте график функции

$f(x) = \begin{cases} -2x - 8, & \text{если } x < -2 \\ -x^2, & \text{если } -2 \le x \le 2 \\ 2x - 8, & \text{если } x > 2 \end{cases}$

Используя построенный график, укажите нули функции, её промежутки знакопостоянства, промежутки возрастания и промежутки убывания.

Данная функция является кусочно-заданной. Для построения её графика рассмотрим каждый из трёх участков отдельно.

1. При $x < -2$ функция имеет вид $f(x) = -2x - 8$. Это линейная функция, её график — часть прямой. Для построения найдем две точки:

• Если $x = -4$, то $f(-4) = -2(-4) - 8 = 8 - 8 = 0$. Точка $(-4, 0)$.
• На границе промежутка, при $x = -2$, имеем $y = -2(-2) - 8 = 4 - 8 = -4$. Так как неравенство строгое ($x < -2$), точка $(-2, -4)$ будет "выколотой" (не принадлежать этому участку графика).

2. При $-2 \le x \le 2$ функция имеет вид $f(x) = -x^2$. Это парабола, ветви которой направлены вниз, а вершина находится в точке $(0, 0)$. Вычислим значения на границах этого отрезка:

• При $x = -2$, $f(-2) = -(-2)^2 = -4$. Точка $(-2, -4)$. Эта точка "закрашенная", она принадлежит графику.
• При $x = 2$, $f(2) = -(2)^2 = -4$. Точка $(2, -4)$. Эта точка также принадлежит графику.

3. При $x > 2$ функция имеет вид $f(x) = 2x - 8$. Это также линейная функция, её график — часть прямой. Для построения найдем две точки:

• Если $x = 4$, то $f(4) = 2(4) - 8 = 8 - 8 = 0$. Точка $(4, 0)$.
• На границе промежутка, при $x = 2$, имеем $y = 2(2) - 8 = 4 - 8 = -4$. Так как неравенство строгое ($x > 2$), точка $(2, -4)$ будет "выколотой".

Совместив все три части на одной координатной плоскости, мы видим, что в точках $x=-2$ и $x=2$ разрывов нет, так как значения функций на границах совпадают. График является непрерывной линией.

Теперь, используя построенный график, ответим на вопросы.

нули функции

Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции равно нулю, т.е. $f(x) = 0$. Графически это точки пересечения графика с осью абсцисс (Ox).
Из построения графика мы нашли три такие точки:
1. На промежутке $x < -2$: $-2x - 8 = 0 \implies x = -4$.
2. На промежутке $-2 \le x \le 2$: $-x^2 = 0 \implies x = 0$.
3. На промежутке $x > 2$: $2x - 8 = 0 \implies x = 4$.
Ответ: $-4; 0; 4$.

её промежутки знакопостоянства

Промежутки знакопостоянства — это интервалы, на которых функция принимает только положительные или только отрицательные значения.
1. Функция положительна ($f(x) > 0$), когда её график находится выше оси Ox. Это происходит на интервале от $-4$ до $-2$.
2. Функция отрицательна ($f(x) < 0$), когда её график находится ниже оси Ox. Это происходит на трёх интервалах: левее $-4$; между $-2$ и $0$; между $0$ и $4$.
Ответ: $f(x) > 0$ при $x \in (-4, -2)$; $f(x) < 0$ при $x \in (-\infty, -4) \cup [-2, 0) \cup (0, 4)$.

промежутки возрастания и промежутки убывания

1. Промежутки возрастания — это интервалы, на которых с увеличением $x$ значение $f(x)$ также увеличивается (график "идёт вверх").
- Участок параболы от $x=-2$ до вершины в $x=0$.
- Участок прямой при $x>2$.
2. Промежутки убывания — это интервалы, на которых с увеличением $x$ значение $f(x)$ уменьшается (график "идёт вниз").
- Участок прямой при $x<-2$.
- Участок параболы от вершины в $x=0$ до $x=2$.
Ответ: функция возрастает на промежутках $[-2, 0]$ и $[2, +\infty)$; функция убывает на промежутках $(-\infty, -2]$ и $[0, 2]$.